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## 从微小偏折到临界传播

在远离中心源的区域，空间拉伸使光路发生微小偏折，并使信号积累额外光程。当源足够集中、光线进入更强的拉伸区域时，同一传播规律还会产生临界环绕与捕获条件。这里首先研究这些可以由外部光程计算的现象，再讨论 ASD 怎样解释外部连续空间的极限及其边界。

<div id="A1" />

模型取静态、球对称、无电荷的源，保持引力耦合 $G_0$ 不变，忽略探测光对背景的影响。以 $M$ 表示从远场纵向通量标定的质量，$c$ 为局域真空光速，$\ell_g=G_0M/c^2$ 为引力长度。面积半径 $r$ 由球面面积 $4\pi r^2$ 定义，方位角为 $\varphi$。沿用外部构成律 $X=1-2\ell_g/r$、$\Omega=X^{-1/2}$ 和 $\Phi=\sqrt X$，其中 $\Omega$ 表示线膨胀，$\Phi$ 表示其倒数，不是量子场变量。

把这组关系延伸至强场外部 $r>2\ell_g$，就得到以下静态光学模型。它使用完整的外部函数，不再把 $\ell_g/r$ 当作处处很小；完整函数的强场延拓仍是一项构成输入。这里的推导确定光在给定背景中的运动条件，边界如何形成则是另一个动力学问题。

## 怎样描述一条强场光路

真实空间线元沿用 $d\ell_s^2=X^{-1}dr^2+r^2d\varphi^2$。由于 $r$ 已经规定实际球面面积，径向拉伸与切向弧长分别进入，不能再给切向项附加一次 $\Omega$。按标准过程折算到共同参考后，光程为 $d\ell_{\rm opt}=\Phi^{-1}d\ell_s$，参考传播计数满足 $dt=d\ell_{\rm opt}/c$。

为看清径向传播和环周传播的不同作用，把同一个光程写成

<Equation name="grv-optical-functions" compact />

$\mathcal A$ 是无量纲径向光程因子，$\mathcal B$ 具有长度量纲，表示单位方位角对应的环周光程。靠近源时，球面的几何尺度 $r$ 减小，而尺度折算 $X^{-1/2}$ 增大；$\mathcal B=rX^{-1/2}$ 将这两种变化放在同一量中。临界光轨由它们的竞争确定。

光线取光程泛函的驻值路径。令 $s_{\rm opt}$ 为沿光线累计的光程，单位切向条件为

$$
\mathcal A^2\left(\frac{dr}{ds_{\rm opt}}\right)^2+
\mathcal B^2\left(\frac{d\varphi}{ds_{\rm opt}}\right)^2=1.
$$

轴对称使与方位变化对应的量守恒，给出光学冲击参数

<Equation name="grv-impact-parameter" compact />

其中 $\psi_{\rm opt}$ 是按光程线元测得的传播方向与径向夹角。远场中 $\mathcal B\to r$，因此 $b$ 就是远处入射直线相对中心的横向偏距；本页用其非负大小标记不同入射光线。由 $d\varphi/ds_{\rm opt}=b/\mathcal B^2$ 代回单位切向条件，径向传播满足

<Equation name="grv-photon-radial" compact />

右侧为零时，光线瞬时没有径向推进，形成最近接点 $r_0$，故 $b=\mathcal B(r_0)$。右侧必须非负，也就规定了给定冲击参数的光线可以进入哪些半径。

## 光子球与不稳定的圆形光轨

仅有径向速度为零还不足以使光线持续环绕。圆形临界光轨要求转折条件在径向上同时达到驻值，即 $\mathcal B'(r)=0$；本节撇号表示对 $r$ 求导。对已定义的环周光程函数求导：

<Equation name="grv-critical-condition" compact />

在外部区域，分母为正。分子 $1-3\ell_g/r$ 的零点给出

<Equation name="grv-photon-sphere" compact />

这里的 $r_{\rm ph}$ 称为光子球半径：在球对称背景中，各轨道平面上的临界圆形光轨位于同一半径，合成一个球面。它表示传播的临界条件，并非物质构成的发光球壳。

在该处 $\mathcal B$ 取极小值，因而 $1/\mathcal B^2=X/r^2$ 取极大值。临界光轨对径向扰动不稳定：稍向外偏离的路径可能逃逸，稍向内偏离的路径则朝更强拉伸区域传播。弱场的连续偏折与这里的临界环绕由同一光程律贯通，没有另加一种局域光速变化。

## 从捕获尺度到可观测图像

将临界半径代入冲击参数，得到

<Equation name="grv-shadow" compact />

<div id="A2" />

捕获解释还需要吸收边界，并使用几何光学，即把波长相对背景变化尺度很小的传播近似为射线。本页采用书稿的边界 $r_h=2\ell_g<r_{\rm ph}$，外部构成覆盖临界光轨及其外侧区域。吸收表面必须位于临界光轨以内；若实体表面位于 $r_{\rm ph}$ 外侧，光先遇到表面，捕获范围须按表面条件计算，不能直接采用上述 $b_c$。在本页的边界条件下，来自远处的 $b<b_c$ 光线没有外部转折点，进入捕获区域；$b>b_c$ 的光线存在外部最近接点，可以向远处返回。$b=b_c$ 标出两类行为的分界。对距离 $D_{\rm obs}$ 远大于引力尺度的观测者，临界角半径约为 $b_c/D_{\rm obs}$。

这个结果说明捕获区在远处投影成多大的角尺度，尚未规定每个方向有多亮。真实图像还取决于何处有发射物质、光如何被吸收或散射、物质怎样运动，以及观测倾角和仪器响应。要与某次观测比较，必须把这些过程接入同一前向模型，由源和传播计算探测器实际记录的信号。

因此，光子球半径 $r_{\rm ph}$、远处捕获尺度 $b_c$ 与图像中的亮环有不同含义。它们可以在完整成像模型中联系，但不能把一个测得的亮环直接当作对边界物理结构的确认。相关观测与模型要求见 [GRV-EXP-005](/tests/gravity#GRV-EXP-005)。

## 外部极限处，哪些长度发散

给定背景的 $X$ 在有限面积半径处趋于零：

<Equation name="grv-boundary-radius" compact />

从外侧趋近 $r_h$，$\Phi\to0$、$\Omega\to\infty$，局域标准过程的关联波长拉长、共同参考下的频率降低。但膨胀系数变大，不等于所有累计长度都按同样方式发散。径向真实长度累计 $dr/\sqrt X$，参考光程累计 $dr/X$，二者需要分别积分。

给定外部模型的两个积分都可解析求出：

<Equation name="grv-near-boundary-lengths" compact />

第一式以边界为积分下限且 $r>r_h$，第二式取 $r_2\geq r_1>r_h$。对第一式求导得到 $1/\sqrt{1-r_h/r}$，其边界值为零；第二式的原函数是 $r+r_h\ln(r-r_h)$，相减后任意对数归一化长度消去。令 $r=r_h+\epsilon$，近边界展开给出 $\ell_s(r_h,r)=2\sqrt{r_h\epsilon}+O(\epsilon^{3/2}/\sqrt{r_h})$，而从 $r_h+\epsilon$ 到固定外部点的参考光程呈对数发散。因此有限真实长度与发散参考光程是两个精确积分的不同极限，不是尚无解析长度结果。

$r_h$、$r_{\rm ph}=3r_h/2$、$b_c=3\sqrt3\,r_h/2$ 分别标记外部极限位置、临界环绕半径和远处捕获尺度。它们均具有长度量纲，承担的物理角色却不能互换。

## 远场梯度与局域悬停力

接近边界时，保持物体静止需要多大支撑？这一问题同时涉及空间梯度、真实位移和能量折算。先将外部纵向梯度按共同参考归一化，定义

<Equation name="grv-surface-gradient" compact />

$\kappa_X$ 具有加速度量纲，表示远场参考下的边界梯度尺度。对固定 $M$，它在外侧极限有限。局域支撑力则由同一背景中的试验体能量计算：沿用[轨道作用量](/theory/gravity/orbital-dynamics)的静态能量 $E_\infty=m_0c^2\Phi$，对向外虚位移取 $dW_\infty=dE_\infty$；再用 $dW_\infty=\Phi dW_{\rm loc}$ 和 $d\ell_s=dr/\sqrt X$，得到

<Equation name="grv-hover" compact />

这里 $m_0$ 是试验体质量，$F_{\rm hold,loc}=dW_{\rm loc}/d\ell_s$ 是局域向外支撑力的大小。它按 $X^{-1/2}$ 增长，趋近边界时发散；折算后的 $\sqrt X F_{\rm hold,loc}/m_0$ 则趋于有限的 $\kappa_X$。两个结果分别回答局域支撑与远场归一化问题，不相矛盾。自由下落与悬停也有不同的动力学条件，不能用阻止下落所需的力替代自由轨道。

## 边界物理与静态模型的范围

书稿进一步提出强场边界假说：$X=0$ 是空间连续介质状态的物理终止边界，$r<r_h$ 不再延续为同一介质的连续空间区域。在这一图景中，普通物质通过局域拓扑结构维持身份，黑洞由边界态及其外部场共同维持整体状态；入射结构的能量和状态可向边界与外场转移。

这一假说明确了 ASD 要研究的物理对象，但 $X$ 的零点及外部光学并不构成边界形成、稳定性或内部结构的动力学解。信息是否保存还取决于边界与外场联合演化是否可逆，不能从总能量守恒单独推出。相应问题见[强场闭合](/open-problems/gravity/strong-field-closure)。


## 旋转源怎样建立环向伴随场

自转使源的不同部分具有不同方向的质量流，空间响应因而在静态径向拉伸之外组织成环向结构。书稿以 $\mathbf j_m=\rho_m\mathbf v_m$ 表示稳恒质量流，$\nabla\cdot\mathbf j_m=0$，总角动量为 $\mathbf J=\int\mathbf x'\times\mathbf j_m\,d^3x'$。以速度量纲的 $\mathbf u_{\rm rot}$ 描述有效定向输运，给定最低阶横向耦合与无穷远衰减条件后，泊松方程的格林解为

<Equation name="grv-rotation-field" compact />

这里 $\zeta$ 是无量纲耦合归一化。对无整体平动的局域源，$\int\mathbf j_m d^3x'=0$，格林函数远场展开的 $1/r$ 项消失。再对 $\nabla\cdot(x'_ix'_j\mathbf j_m)$ 积分并令边界项消失，得到一阶流矩的对称部分为零；反对称部分由 $\mathbf J$ 确定，所以 $\int\mathbf j_m(\mathbf x'\cdot\hat{\mathbf r})d^3x'=\mathbf J\times\hat{\mathbf r}/2$。这给出上式的远场偶极项，而不是凭旋转示意图指定幅度。

取旋转轴沿 $z$，$u_\varphi=\zeta G_0J\sin\theta/(2c^2r^2)$，除以到轴距离 $r\sin\theta$ 得到场角速度 $\omega_{\rm rot}$。$\theta$ 是空间极角，$\varphi$ 是方位角，均不是第一章的运动测量夹角。源本身的自转角速度、外场的 $\omega_{\rm rot}$ 与后面的边界热力学共轭量各有定义。书稿采用 $\zeta=4$ 作为旋转耦合的经验标定；其数值不能另计为无参数微观预言。

## 有向光程怎样成为顺逆传播差

将环向场与传播方向 $\hat{\mathbf k}$ 的投影代入 LVE 型方向因子，静态光程之外出现随传播方向反号的项：

<Equation name="grv-rotation-path" compact />

第一行给出所用方向因子，第二行在弱场、$u_{\rm rot}/c\ll1$ 下保留旋转一阶；二者的精度身份不同。单程修正为 $\delta T_{\rm rot}=-\zeta G_0\int(\mathbf J\times\mathbf r)\cdot d\mathbf x/(2c^4r^3)$。对同一固定闭合路径，把正向定义为沿环向场，反向传播使投影项反号，故差值是该场环量的两倍除以 $c^2$。

最后的圆环表达还要求光路与旋转轴共轴、各点处于相同 $r$ 和极角，圆环半径 $R_\perp=r\sin\theta$、面积 $A_C=\pi R_\perp^2$。此时沿环 $\omega_{\rm rot}$ 恒定，$\oint\mathbf u_{\rm rot}\cdot d\mathbf x=2\omega_{\rm rot}A_C$，于是得到式（2.82）。这些式子已经给出可计算的远场方向响应；它们尚不是完整旋转强场的光子球或阴影解。装置自身转动、源的环向场和端点运动应分别进入实验光程。

## 边界微态怎样给出面积熵

ASD 把吸收、储存与辐射组织为边界和外场之间的转换。若以 $\mathcal B$ 表示边界微态，过程可记为 $(\mathcal B,\mathcal I_{\rm in})\to(\mathcal B',\mathcal R_{\rm out})$；质量与角动量是宏观总量，微态还区分与这些总量相容的入射历史。能量守恒规定交换总量，信息保存还要求联合状态映射保留输入之间的区别。

在非旋转、无电荷、固定 $G_0$ 的准静态序列上，以 $E_{\rm bdy}=Mc^2$ 归一化储能。$P_{\rm in}$、$P_{\rm out}$ 是同一参考下的输入与输出功率。若边界有面积为 $a_*$ 的有效单元，每单元有 $g_*$ 个可及微态，并在这一计数模型中近似独立，则

<Equation name="grv-boundary-entropy" compact />

$N_h$ 为单元数，$W$ 为态数，$\sigma_h$ 的量纲是面积倒数。乘法计数使 $W$ 随单元数指数增长，取对数便使熵随面积增长；这是给定边界模型内已建立的面积律。微观单元面积、可及态数及相关性修正仍须由边界动力学确定。面积律已经得到，与其系数的微观独立计算是两项不同结果。

## 温度、热容与边界第一定律

保持 $G_0,c,\sigma_h$ 固定，$dA_h=32\pi G_0^2M\,dM/c^4$，而 $dE_{\rm bdy}=c^2dM$。将两者代入 $T=dE/dS$，即可从上述面积模型求出温度：

<Equation name="grv-boundary-thermodynamics" compact />

第一行是该固定参数准静态序列的热力学结果。选择 Bekenstein–Hawking 的参考归一化 $\sigma_h=c^3/(4G_0\hbar)$ 后得到第二行的温度系数；这一步明确属于归一化匹配，不是由任意未知 $a_*$ 与 $g_*$ 独立算出了该系数。$T\propto M^{-1}$ 给出负热容。若有效发射面积正比于 $A_h$，通道数和灰体因子近似固定，并采用热谱通量，则 $P_{\rm out}\propto A_hT^4\propto M^{-2}$；实际净蒸发还要扣除吸收和背景输入。

末行是当可微状态函数 $E(S,J,Q)$ 存在时的扩展结构；$\omega_{\rm bdy}=(\partial E/\partial J)_{S,Q}$、$\mathcal V_{\rm bdy}=(\partial E/\partial Q)_{S,J}$ 是能量共轭量。它们须在完整边界—外场模型中与外部环向响应相接。若 $G$、作用量尺度或单元面积参与变化，第一定律还需相应的共轭项，不能继续使用固定参数导数。


在已声明的静态外部构成下，光程与 Schwarzschild 光学几何数学同形，因而得到相同的光子球和捕获尺度。ASD 的空间解释应由其动力学来源和最终可观测差值继续检验，不能把强场中的同形结果写成独立实验证明。

## 推导资料

本页从[引力总览](/theory/gravity)的尺度变量、[光线偏折](/theory/gravity/light-deflection)的统一光程及[轨道动力学](/theory/gravity/orbital-dynamics)的能量耦合接续而来。详细书稿位置、式号与版本关系列于辅助资料。

<CanonicalSource />