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"投影怎样确定偏振和传播速度",
"共同速度是一项怎样的匹配",
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"从常系数模型走向实际背景"
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## 选定背景以后怎样描述扰动
纵横开放模共享真空极限波速，是 ASD 选定的基态本构关系。本页从作用量变分求出传播谱，展示这一关系怎样进入计算，以及序参量反馈如何改变需要匹配的有效系数。
一个局部扰动怎样向周围传开，取决于背景状态、恢复作用和时间响应。先考察无物质、无外场、近似均匀的参考基态；扰动 $\mathbf u(\mathbf x,t)$ 具有长度量纲，满足小形变条件 $|\nabla\mathbf u|\ll1$，其波长远大于微观截止尺度。参考位置为 $\mathbf x$，$t$ 是演化参数。此时取 $\rho_s,K_L,K_T$ 为常数，第四章使用
第一项给时间变化以正的动态权重；后两项分别计体积和旋转型响应的恢复能。$[\rho_s]=\mathrm{kg\,m^{-3}}$，$[K_L]=[K_T]=\mathrm{J\,m^{-3}}$，每项单位都为能量密度，作用量 $S_2=\int\mathcal L_2\,dt\,d^3x$ 的单位为作用量。参数和二次形式是此阶构成输入；它们不是仅由“空间”一词或量纲推得。
$K_L$ 是本状态变量的纵向恢复系数，不是普通弹性体的体积模量。不同弹性本构可以用于比较，但必须先保留这里已经选定的模型。
## 变分怎样给出恢复作用
记 $s=\nabla\cdot\mathbf u$、$\mathbf w=\nabla\times\mathbf u$。这两个量无量纲；本页的 $s$ 为膨胀应变，$\mathbf w$ 为旋度，不是源强。对 $\mathbf u$ 作允许的变化：
$$
\delta S_2=\int dt\,d^3x\,[\rho_s\partial_t\mathbf u\cdot\partial_t\delta\mathbf u-K_Ls\nabla\cdot\delta\mathbf u-K_T\mathbf w\cdot(\nabla\times\delta\mathbf u)].
$$
时间项分部积分后，内部系数为 $-\rho_s\partial_t^2\mathbf u$。散度项使用 $\nabla\cdot(s\delta\mathbf u)=\nabla s\cdot\delta\mathbf u+s\nabla\cdot\delta\mathbf u$，给出 $+K_L\nabla s$；旋度项分部积分后给出 $-K_T\nabla\times\mathbf w$。这一操作还产生时间端点与空间边界项：
$$
\delta S_2=\int dt\,d^3x\,[-\rho_s\partial_t^2\mathbf u+K_L\nabla s-K_T\nabla\times\mathbf w]\cdot\delta\mathbf u+\mathcal B,
$$
$$
\mathcal B=\left[\int\rho_s\partial_t\mathbf u\cdot\delta\mathbf u\,d^3x\right]_{t_0}^{t_1}-\int dt\oint[ K_Ls\,\delta\mathbf u\cdot\mathbf n+K_T\mathbf n\cdot(\delta\mathbf u\times\mathbf w)]\,dS.
$$
$\mathbf n$ 是区域的外法向。固定时间端点的变分，配合全空间衰减、周期边界或适当的位移／自然边界，才使 $\mathcal B$ 消失。于是任意内部变分要求
方程两侧单位为力密度。纵向恢复沿 $\nabla s$，横向恢复沿负的旋度旋度；正恢复系数因此进入稳定的自由波算符。若边界实际做功，还要保留相应输入，不能把它无条件舍掉。
## 投影怎样确定偏振和传播速度
使用恒等式 $\nabla^2\mathbf u=\nabla(\nabla\cdot\mathbf u)-\nabla\times(\nabla\times\mathbf u)$，把恢复算符改写为 $K_T\nabla^2\mathbf u+(K_L-K_T)\nabla(\nabla\cdot\mathbf u)$。在常系数背景和相容边界下，纵横投影与这个算符对易，分别得到
再取 $\mathbf u_A=\operatorname{Re}[\mathbf U_Ae^{i(\mathbf k\cdot\mathbf x-\omega_A t)}]$。$\mathbf U_A$ 是长度量纲的复振幅，$\omega_A$ 为角频率，$\mathbf k$ 为逆长度单位的波数。时间二阶导数给 $-\omega_A^2$，拉普拉斯给 $-k^2$，故
等价地，Fourier 空间的恢复矩阵为 $K_Tk^2\delta_{ij}+(K_L-K_T)k_i k_j$：平行 $\mathbf k$ 的本征值是 $K_Lk^2$，两个垂直分量的本征值是 $K_Tk^2$。这解释了一纵、两横的线性偏振计数。无隙常系数分支上，角频率正比于波数，相速度与群速度分别为 $c_A$；严格前沿仍须按原初值方程及其有效尺度讨论。
这里的矢量偏振不自动给出张量引力波。第五章指出，单值位移所生成的兼容线性应变，其单一平面波的横向无迹投影为零；独立张量传播分支需要另外的自由度和谱。
## 共同速度是一项怎样的匹配
ASD 对无物质、无外场的长波基态采用共同极限速度 $c$。在上述二次模型中，这要求
左边是有效恢复系数与动态权重的构成匹配；代入已求出的比值，右边才是同速结果。国际单位制给光速固定数值，不因此确定未知纵向系数。普通 FCC 的十二近邻和二阶矩也不单独证明矢量纵横同速。
普通各向同性弹性体的 $c_L^2=(K+4G/3)/\rho$、$c_T^2=G/\rho$ 来自另一种应变能；不能把其中 $K,G$ 直接替换成本页 $K_L,K_T$，也不能仅令 $K=G$ 来证明同速。ASD 的问题是实际微观响应怎样保障所选状态模型的系数关系。
图中传播方向沿参考横轴，纵向扰动与它平行，横向扰动与它垂直。圆点仅取样连续场，位移已经放大；调节系数比得到的是均匀、无耦合的模型演示，不是粒子运动、晶格观测或装置信号。
## 传播怎样携带能量
动能与恢复能共同构成
对于第五章的投影通道归一化 $Z_A=\rho_s$、$Z_Ac_A^2=K_A$，在相容边界下可用通道梯度能描述相同积分能量。共同速度取 $c$ 时，能流与源功关系为
将通道方程乘以 $\partial_t\mathbf u_A$，梯度项用乘积法则分成能量导数与散度，即得到最后一行。$\mathcal E_A$ 的单位为 $\mathrm{J\,m^{-3}}$，$\mathbf S_A$ 为 $\mathrm{W\,m^{-2}}$，$\mathbf J_A\cdot\partial_t\mathbf u_A$ 为功率密度。无源且没有净边界流时，总能量守恒；外向波则把能量带出考察区域。
没有显式耗散项不消除几何扩散。局域源远区可有 $1/R$ 振幅和 $1/R^2$ 能流密度，过球面的积分功率仍有限。接收体对两个通道的耦合强弱，则影响探测效率而不是这条能量定义。
## 有序背景为什么要求重算谱
母方程的局部双场候选包含能量项 $g_LsF(\Theta)$。在径向幅度的非零真空上，取 $\Theta=v_0+\eta$，其中 $\eta$ 是幅度扰动，不是第四章的密度符号。于是 $F=2v_0\eta+O(\eta^2)$，二次混合为 $\lambda s\eta$，$\lambda=2g_Lv_0$。定义 $W''(v_0)=I_\Theta\Omega_\Theta^2$、$c_\Theta^2=A_\Theta/I_\Theta$，并令 $\Omega_\Theta^2>0$。
纵向位移振幅与幅度扰动的线性方程分别含 $\lambda\nabla\eta$ 和 $\lambda s$。对平面波消去二者，得到
这里 $Z_u>0$ 和 $I_\Theta>0$ 是两场的动能系数，$c_u$ 是反馈前的位移速度；横向通道在本截断中没有同样的幅度混合。对无隙根设 $\omega^2=\alpha k^2+O(k^4)$，将行列式最低阶取出，得到 $(c_u^2-\alpha)\Omega_\Theta^2=\lambda^2/(Z_uI_\Theta)$，即
这已经说明反馈如何改变纵向低波数速度。该分支要有正的线性梯度系数，至少需 $c_u^2>\lambda^2/(Z_uI_\Theta\Omega_\Theta^2)$；等号处要检查更高阶，负值则不是正常稳定传播。完整稳定域还取决于其余场、梯度能和允许波数。
因此裸系数相同不足以保证物理同速。书稿提出的匹配路线包括微观连接确定的纵横裸系数差，或在真空处一阶源导数为零的源不变量。它们要在完整谱中检验，不能独立调参后把同速当作已解释的机制。[OP-SD-002](/open-problems/space-dynamics/equal-speed)承接这一任务。
## 从常系数模型走向实际背景
这里的完整步骤适用于所声明的均匀、小振幅、长波模型。非均匀背景中导数作用在系数上，投影与演化不一定对易；有耦合时须先求完整多分量谱；接近微观截止时须返回[实际离散色散](/theory/space-dynamics/fcc-model)。相同的长波速度也没有指定相同粒子、极化或装置读数。
[自由纵波](/theory/space-dynamics/longitudinal-waves)把源、初值、传播和接收连接起来；[纵横耦合](/theory/space-dynamics/longitudinal-transverse-coupling)则解释有限振幅结构怎样互相驱动。详细公式依赖可在辅助关系索引和各式详情中核对。