暗物质方向：空间引力响应的候选构造

01从引力响应提出问题

暗物质问题要求解释的不是一个名称，而是物质运动、光传播与背景演化中可比较的引力效应。ASD 的研究对象是：纵向空间状态及其与其他自由度的耦合，能否提供这些效应？第五章第五部分分别给出平滑、盘内响应、非线性极化和相干模的有效构造。每种构造先有明确输入，再计算结果；它们不是已经合并并拟合全部观测的模型。

本页采用 $\Phi_N=-c^2\varphi$、$\mathbf g=-\nabla\Phi_N=c^2\nabla\varphi$。$\Phi_N$ 具有单位质量能量的量纲，$\varphi$ 是无量纲拉伸势，$\mathbf g$ 是向量加速度；以下 $g=|\mathbf g|$ 表示其大小。$G$ 为所用弱场引力耦合，$\rho_b$ 为物理重子质量密度。这里的源、背景与参数必须在相同参考条件下定义，不能把局域密度扰动直接当成已经获得的长程势。

02高阶平滑算出了什么

首先考察一个带固定长度 $\ell_g>0$ 的静态响应（书稿式 5.5.15）：

额外空间导数引入短距离响应尺度。对全空间作傅里叶变换，$\nabla^2$ 变为 $-k^2$，于是

这是式 5.5.16。$\rho_{\rm eff}$ 只是把此势改写为普通泊松形式时的有效源，不是另行测得的新物质。对点源 $M\delta^{(3)}(\mathbf r)$，要求势在无穷远趋于零、不额外叠加奇异齐次解；把核分成 $1/k^2$ 与 Yukawa 型部分并逆变换，可得式 5.5.17–5.5.18：

径向体积分给出 $\int\rho_{\rm eff}d^3r=M$。平滑核改变了近区分布，却不增加远区牛顿尾项的质量；若定义介质差额 $\rho_{\rm med}=\rho_{\rm eff}-\rho_b$，其总积分为零。这个计算明确了高阶平滑本身的功能，也说明额外长程吸引需要另一种长波本构或动力学自由度。

03有限范围的盘内响应

若实际的束缚、边界或本构机制使一种空间响应留在盘内，书稿在源区尺度 $R_d$ 与三维泄漏尺度 $R_c$ 之间采用准二维近似。仅仅因为重子源呈盘状，不能自动得到这种约束。在 $R_d\ll r\ll R_c$ 的无源径向区间，二维拉普拉斯方程为

一次积分给出 $r\Phi_N'$ 为常量，再积分得到式 5.5.19：

$r_0$ 设定势的参考，$v_f^2$ 是积分得到的源强系数。圆周运动满足 $v_c^2/r=g$，因而在这个区间 $v_c=v_f$：平坦速度来自给定二维边值问题。书稿随后列出需要另行解释的质量标度 $v_f^4=GM_ba_*$（式 5.5.20），其中 $M_b$ 为重子总质量，$a_*$ 为加速度尺度。这个源强关系不是对数积分本身的结果。超过 $R_c$ 后还要匹配三维外场或明确背景，才能确定势和场能的边界。

04非线性极化与低加速度极限

另一条候选路线让空间响应随场强变化。书稿采用已有 Bekenstein–Milgrom 型非线性泊松结构作为有效输入，并要求 ASD 进一步说明它怎样来自纵横微观耦合。取式 5.5.21 的静态泛函

$X$ 是无量纲场强，$F$ 是待确定的构成函数，第一项给出非线性场能，第二项规定源耦合。使用 $\delta X=2c^4\nabla\varphi\cdot\nabla\delta\varphi/a_*^2$ 并在边界变分消失的条件下分部积分，得到式 5.5.22：

令 $\mu(x)=F'(x^2)$，驻定方程可写为

这是式 5.5.23。高加速度时取 $\mu\to1$ 以接回该模型的牛顿极限。球对称源外，对球面积分给出 $\mu(g/a_*)g=GM_b/r^2$；再采用深低加速度输入 $\mu(x)=x$，才得到式 5.5.24：

结果依赖所选本构。其低场形式对应 $F(X)=2X^{3/2}/3$，高场对应 $F(X)=X$；静态局部椭圆性至少要求 $\mu>0$ 与 $\mu+x\mu'>0$。这使给定边值问题具有可检查的数学条件，时间演化的因果性和稳定性则还须由动态作用量确定。ASD 尚需从自身自由度求出 $F$ 与 $a_*$，并在实际重子分布和全域边界下求解，不能把输入的本构称为独立预言。

这里的等式在所选深低加速度幂律分支 $F(X)=2X^{3/2}/3$ 内精确成立。若实际构成函数只是渐近趋于该分支，对应关系仍是渐近结果；不能据此统一删除其他近似符号。

05有隙相干模为何可以近无压

暗引力效应也可能由一种不带净电荷、具有正能量的集体模承担。第五章以 $s_c$ 表示候选相干场，以 $a_U(t)$ 表示无量纲平均空间尺度，$H=\dot a_U/a_U$；$\mathbf x$ 为共动坐标。式 5.5.25 选择

$\chi_c>0$ 是场的归一化，$\Omega_c$ 是非零本征角频率，$c_c$ 是梯度速度参数，区别于真空传播速度和光子重子流体声速；$\lambda_c$ 为自耦合。时间变分作用于 $a_U^3\chi_c\dot s_c$，因此出现 $3H\dot s_c$ 项，得式 5.5.26：

在梯度和四次项可忽略、$\Omega_c\gg H$ 且 $|\dot H|\ll\Omega_c^2$ 的均匀快速振荡范围，近似解为 $s_c=A_0a_U^{-3/2}\cos(\Omega_ct+\delta)$。同一二次模型的能量密度与压力为式 5.5.27：

在主阶绝热近似内，快速周期平均时把 $a_U$ 视为常量，最终书稿式 (5.5.28) 给出

下标 0 标明平均所取的阶次。缓变幅度的时间导数还会产生含 $H/\Omega_c$ 的高阶贡献；因此完整演化模是近无压，不能把主阶零压结论外推到所有阶次。这里 $\rho_c$ 是质量密度，不是量子模块的核心位置概率密度。近无压性质来自有隙和二次势主导，普通无隙纵波不满足这些条件；梯度、自耦合、寿命及扰动压力还决定它能在哪些尺度聚集。该有效数学与已有相干标量模型相近，仍需证明这一分支确实属于 ASD 纵横场允许的集体模。

06有限传播与碰撞后的空间记忆

静态场不能单独决定碰撞星系团的动态峰位。Clowe 等对合并星系团的弱透镜观测给出了透镜重建与热气体位置分离的约束。书稿因此考察有记忆的额外空间响应，而不声称已经完成该系统拟合。

令引力极化 $\mathbf P$ 满足 $\rho_{\rm pol}=-\nabla\cdot\mathbf P$，其量纲为质量每单位面积。为了在局部常系数模型中保留有限前沿，式 5.5.30 使用二阶时间响应：

$\tau_2>0$、$\tau_1\geq0$，$\ell_P$ 是空间响应尺度，$\mathbf v_P$ 为响应的迁移速度。相对于常值迁移流，主部的特征速度为 $\ell_P/\tau_2$；$|\mathbf v_P|+\ell_P/\tau_2\leq c$ 是该局部模型所有方向前沿不超过 $c$ 的充分条件。慢变时它可约化为一阶弛豫扩散近似，但不能反过来把具有抛物型尾部的一阶式当作严格有限传播的基本方程。

对零迁移、常系数并使边界能流项消失的场，把方程乘以 $\dot{\mathbf P}$ 并积分，得到书稿式 5.5.31：

括号整体还需正归一化才能换算为焦耳。右边分别表示驱动做功和转移到被粗粒化环境的能量；要讨论封闭系统守恒，须把环境贡献计入。有限传播与长期记忆可以并存，但滞留时间、初始场及迁移响应必须实际求解，不能仅由这条方程宣布得到观测峰位。

07联合检验与常数约定

若将相干、重子和极化质量密度接入所用弱场模型，书稿式 5.5.29 在共动坐标中写为

因 $\varphi$ 无量纲，质量密度源仍需 $c^{-2}$；若使用能量密度，系数为 $c^{-4}$。各项必须分别定义，不能把同一个响应同时算成相干场和极化能量。在证明平滑、盘内响应、非线性极化和相干模之间的微观联系以前，也不能把它们视为四份可自由相加的暗质量。

透镜还需要接回第二章光传播。在弱偏折近似中，光路由有效折射率的横向梯度决定；其与 $\varphi$、剪切和背景的关系不能用另一个理论的源公式偷偷替换。最终应由同一参数组计算旋转曲线、透镜、碰撞响应、结构增长及背景温度和偏振谱，目前没有这套闭合联合拟合。

本页各有效计算按其声明的常系数条件使用 $c,\hbar$ 和归一化。关于作用量尺度随背景变化的其他构想，不可通过在这些方程中直接替换有量纲常数实现。若研究常数变化，必须重新给出变系数动力学、共同参考过程与可比较的无量纲量；单位数值改变本身不构成观测预言。相关资料范围见宇宙背景与实验登记。

08来源与复核范围

本文整理最终合订稿《各向异性空间动力学》第五章（ASD-BOOK-ddbade997b45） 第五部分第 5–10 小节，书稿式 5.5.15–5.5.31；变量约定承接第五章第一部分与现行引力模块。Bekenstein–Milgrom 原论文用于辨认被采用的外部有效结构，Clowe 等原论文用于说明碰撞系统的观测约束；二者不是 ASD 的独立确认。

这些是具体候选及其条件性计算，页面仍为探索导读、研究假说、尚待检验。不提供星系或星系团原始数据拟合，也不纳入来源之外或尚未批准的常数与光子专题修订。书稿导读与知识范围保留来源和公开边界。