隧穿：有效透射与核心跨越

01势垒两侧需要比较什么

一个局域物质结构向势垒运动时，ASD 要分别求解伴随场怎样通过这一区域，以及物质核如何与这个场共同响应。有效包络理论已经能回答第一个问题：给定入射场和边界条件，势垒左侧会出现反射分量，右侧可以出现透射分量；需要比较的是它们输运的流量，而不只是某处的幅度是否为零。

本页沿用有效波动方程中的无源、线性、各向同性通道。$m_0$ 是已经完成系数匹配的有效质量，$E$ 是移除静止载波后留下的包络能量，$V(x)$ 是相应的有效外势。取定态形式

$\psi(x)$ 描述空间分布。势垒在 $0<x<a$ 内取常值 $V_0$，两侧取零；$a$ 为势垒宽度。两侧传播参数相同，势为实值且没有吸收。由于本页使用低能包络近似，$E$ 与 $V_0$ 都须远小于 $m_0c^2$。下面的解是这个边值模型内的透射结果，非线性核心的跨越另在末节讨论。

02传播区与势垒区的三组解

将定态形式代入有效包络方程，时间导数转为能量本征值。对 $0<E<V_0$，势垒外的解沿空间振荡，势垒内的解则沿空间指数变化：

这里 $k$ 为两侧传播区的波数，$\kappa$ 为势垒区的衰减尺度倒数。$\psi''$ 表示对位置 $x$ 的二阶导数；它决定曲率怎样平衡势能与有效能量的差。按照“从左入射、右侧无额外入射”的边界要求，三段写成书稿式 (5.3.29)：

入射振幅取为 1，$r$、$t$ 分别为反射和透射的复振幅。在这一组散射系数中，$t$ 是振幅符号，与定态因子中的时间变量由上下文区分；$r$ 也不是引力模块的径向坐标。$A$、$B$ 是有限势垒内部的两个复系数，不能先只留下一个衰减支：内部区域有两个界面，需要同时满足左右两端的匹配条件。

03边界匹配怎样确定透射流

有限势阶跃中没有 $\delta$ 或 $\delta'$ 型界面项时，同一质量参数下的 $\psi$ 与 $\psi'$ 在两个界面连续。第一组条件连接入射区与势垒内部，第二组条件连接势垒内部与出射区：

这是书稿式 (5.3.30)–(5.3.31) 的四条线性关系。先从右端两式解出 $Ae^{\kappa a}=te^{ika}(1+ik/\kappa)/2$ 与 $Be^{-\kappa a}=te^{ika}(1-ik/\kappa)/2$，再代回左端消去 $r$，得到透射振幅：

振幅必须转换为流量才与透射率相连。本页的守恒流为

入射流为 $j_{\rm in}=\hbar k/m_0$，反射流方向相反，透射流为 $j_{\rm tr}=(\hbar k/m_0)|t|^2$。由于左右参数相同，$T=j_{\rm tr}/j_{\rm in}=|t|^2$，$R_{ m refl}=|r|^2$。将上面的振幅取模平方并整理，得到

$R_{ m refl}+T=1$ 表示此无吸收模型中的流守恒。单独一个实指数衰减分量没有净流，但满足两侧边界的复线性组合可以通过 $\operatorname{Im}(AB^*)$ 携带恒定的非零透射流。因此，倏逝幅度与透射可以同时存在，无需假设势垒内临时出现负动能或“借用能量”。若左右传播参数不同，透射流还须乘以相应群速度或流归一化之比，不能直接沿用 $|t|^2$。

04厚度、能量与连续极限

精确边值解对任意势垒厚度都可以写成两个等价形式。令无量纲 $z=e^{-2\kappa a}$，并定义具有能量平方量纲的 $D=V_0^2(1-z)^2+16E(V_0-E)z$。把 $\sinh^2(\kappa a)=(1-z)^2/(4z)$ 代入式 (5.3.33)，得到最终书稿式 (5.3.34) 的网页简写：

两个分子的和恰为 $D$，所以守恒直接可查。这里以 $R_{\rm refl}$ 区分反射流比与物质核心半径；这是编辑记号，不是新增书稿式号。这个有理式是相同两侧传播参数下定态矩形势垒的精确恒等式。只有再取厚势垒极限 $\kappa a\gg1$，才得到渐近式

指数解释厚势垒的强抑制，前因子则保留两端匹配的影响。势垒宽度趋于零时应恢复 $T\to1$，而接近 $E=V_0$ 时不能直接使用厚势垒近似。

对于 $E>V_0$，内部解恢复振荡，令 $q=\sqrt{2m_0(E-V_0)}/\hbar$；通过 $\kappa\to iq$ 延拓可得到势垒上方的结果。阈值处取上下两侧的连续极限：

当 $qa=n\pi$ 时出现完全透射，这来自有限单势垒两界面的相位匹配。它与双势垒内部准束缚态造成的共振隧穿是不同的边值机制。阈值公式则用于检查衰减区与振荡区的计算能否连续衔接。

交互曲线使用上述理想矩形势垒模型，展示参数改变怎样影响包络透射率。它不是核心穿越轨迹，也不是特定材料或扫描隧道显微镜数据的拟合。

05缓变势垒怎样进入 WKB 近似

真实势垒未必是矩形，传播通道的方向响应也可能随位置改变。用正的无量纲系数 $b(x)$ 表示沿本传播方向的有效响应，方程必须保留书稿式 (5.3.37) 的散度形式：

这个形式决定界面上连续的是 $\psi$ 与 $b\psi'$，而非任意地沿用常系数模型的导数条件。在禁阻区取 $\psi=A(x)\exp[\pm\int^x\kappa(x')\,dx']$。WKB 近似就是让指数中的局域衰减尺度与缓慢变化的幅度分层求解：最高阶决定 $\kappa$，下一阶决定幅度输运。

$T_{\rm WKB}$ 的下标明确表示首阶 WKB 估计，$C_0$ 是振幅输运方程的积分常数。等号定义这一阶近似表达，不把它提升为任意变系数势垒的真实精确透射率；只保留指数也不能确定界面前因子。

具体地，下一阶方程为 $2b\kappa A'+(b'\kappa+b\kappa')A=0$，积分得到式中的幅度因子。$x_1$、$x_2$ 是包围禁阻区的转折点，$\mathcal P$ 是边界与转折点连接所决定的前因子。这里的 $A(x)$ 是缓变幅度，不是前面矩形势垒中那个常数系数。

近似要求 $|\kappa'|/\kappa^2\ll1$ 与 $|b'|/(b\kappa)\ll1$。转折点附近这些条件会失效，需要局部连接解；单个实指数支本身依然不携带净流。透射指数对 $V$ 和 $b$ 很敏感，但额外的方向响应必须先从同一 ASD 本构计算得到。普通晶体各向异性、表面势及厚度误差也会改变透射，不能仅凭方向相关就宣布获得 ASD 的独有预测。

06包络透射怎样连接物质核心

在 ASD 图景中，倏逝伴随场建立了跨越势垒区域的相位连接。局域拓扑核是否能通过连续形变、能量交换与拓扑密度转移形成透射态，则属于非线性动力学问题。有效透射系数给出了整体散射统计需要恢复的结果，不能单凭这个系数证明已找到核心的跨越轨迹。

核心的反射、透射及探测记录必须和场、势垒及源的反作用一起进入能量账目；守恒的拓扑密度也须满足相应连续性关系。这项连接由 OP-QM-005：隧穿中的核心—场耦合承接，逐次事件统计与探测器响应相连。

扫描隧道显微镜提供了真空间隙透射的实际应用，但电流还取决于电极态密度、占据和表面势垒。理想包络模型与已知透射关系同形，不等于它已成为 ASD 的独立实验确认。

相位延迟、驻留时间、波包峰位置和探测点击时间具有不同定义。谱选择可能改变透射波包的峰位置，却不意味着新的信息前沿提前。突然制备或快速改变边界时，需要回到原二阶传播方程及实际探测响应，而不能让低能定态包络承担它未描述的瞬态过程。

同一有效方程还可以求外部边界形成的束缚谱。若在 $0<x<L$ 内取零势、区间外取理想无限势垒，边界为 $\psi(0)=\psi(L)=0$，则振荡解要求 $kL=n\pi$。第五章式 (5.3.40) 给出

这里 $L>0$ 是势阱宽度，与前面的势垒宽度 $a$ 分开；$\int_0^L|\psi_n|^2dx=1$，所以 $\psi_n$ 的单位为 $\mathrm{m^{-1/2}}$，$E_n$ 为能量。这些结果仍属于本页的低能包络近似，所用能级应满足 $E_n\ll m_0c^2$。能级离散化来自外部边界，不是物质拓扑核自身的闭合分类，也没有由此确定电子、质子的种类或内部谱。