运动电荷场：几何、通量与探测

01共同运动的电荷与静止探针问的是不同问题

两个共同运动电荷之间的作用，已经在磁力页得到一个确定构型的结果。实验室里让探针静止、让源电荷经过它，问的却是另一件事：源周围什么场到达探针，探针又怎样把这种场转成读数？两种构型具有不同的源—探针速度，不能直接把前一个两体作用除以探针电荷，就称为后一个完整高速场。

记源电荷量为 $q$、背景中的恒定源速度大小为 $v$，$\beta=v/c$、$\gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}$。在参考坐标中，$\mathbf R$ 从所选源位置指向场点，$R=|\mathbf R|$，$\phi$ 为它与源速度的夹角；最终书稿用 $\varphi$ 表示此角，网页统一记为 $\phi$。参考位置可以取给定过程参数 $t$ 的同时位置，也可以在因果源模型中取推迟位置，两种选择必须与相应势、源密度及传播核一起说明。

LVE 提供 $R_T=K(\phi)R$，其中 $K(\phi)=\gamma(1-\beta\cos\phi)$。这首先是一维有向长度输入，尚未规定完整三维场的分量、面积元和梯度算子。本页保留第三章的候选与开放复核状态，用两种不同构成展示还缺什么。

02用真值逆平方强度构造径向候选

先作两个附加选择：把场方向取为普通参考坐标中的径向 $\hat{\mathbf R}$，并保持参考球面的面积元 $d\mathbf S=\hat{\mathbf R}R^2d\Omega$。这里 $d\Omega$ 是立体角元，与后面磁场页的空间旋度 $\boldsymbol\Omega_T$ 无关。在这种表示里，把真值逆平方强度写回 $R$ 得到：

系数 $1/K^2=(1-\beta^2)/(1-\beta\cos\phi)^2$ 直接来自长度的平方。它给出一个角向增强和减弱的候选分布，却没有确定感应项、伴随磁场、源密度的变换或静止探针的动力学。这些附加条件不能被隐藏成 LVE 自身的唯一结果。

03从候选势求梯度会得到什么

另一个选择是先按真值距离构造候选标势 $\Phi_{\mathrm{cand}}=q/(4\pi\varepsilon_0RK)$，再在同一普通参考球坐标中取梯度。极角方向单位向量记为 $\hat{\boldsymbol\phi}$，$K'=dK/d\phi=\gamma\beta\sin\phi$。径向求导作用于 $1/R$，极角求导作用于 $1/K$，因此：

径向项现在是 $1/K$，不是上一个候选的 $1/K^2$；极角项还使场不再纯径向。等势条件 $RK(\phi)=\mathrm{const}$ 是这个指定候选势的性质。两个计算并不互相替代，它们说明“代入真值长度”之后还要确定势怎样构成、在哪个几何中求导及如何解释场分量。若使用真值空间算子，场分量、源密度和面积元也必须同时一致转换。

第三章还检查了方向反演。完整有向因子一般满足 $K(\phi)\ne K(\pi-\phi)$；固定三轴伸缩的长度因子则对方向反演为偶函数。因而一个对称椭球不能实现完整有向几何。对于保持同一过程参数、要求 $R_T=ct$ 的指定传播关系，参考波前半径应是 $R=ct/K(\phi)$，不能同时用 $ctK(\phi)$ 描述同一波前。这一已更正的关系及常系数模型的范围保留书稿式（3.69）—（3.73）的限定。

04通量检查如何约束候选

对纯径向候选，可以在所选普通参考球面上积分。轴对称允许先积方位角，再令 $z=\cos\phi$；当 $\beta\ne0$ 时：

$\beta=0$ 时被积函数为 1，同样得到 2。乘上方位角积分与场的归一化系数，就有：

这项检查确认了该候选的总电荷归一化，不能唯一确定局部角分量、时间演化或探测响应。一个积分约束允许多种分布。若转到另一空间几何，高斯关系需要相应源密度、场分量、面积元和微分算子的整套定义，不能只换半径就沿用其余全部量。

旋度与通量检查的是两种不同要求

最终式（3.17）虽具有正确的普通球面总通量，其径向强度却依赖角度，所以 $\beta\ne0$ 时旋度一般非零。式（3.18）的势梯度在规则核外区域无旋，但普通球面的总通量一般不等于 $q/\varepsilon_0$。因此完整运动场须把源方程、感应项 $-\partial_t\mathbf A_\tau$ 和伴随磁场联合起来；这两项已经完成的检查限定几何输入，而非把其中一个候选确认为完整高速解。

05推迟响应和探测器怎样补上计算链

第三章已在电磁波页的有效源体系中给出因果传播核。那里积分变量 $\mathbf r'$ 表示源分布的位置，$R=|\mathbf r-\mathbf r'|$，源取在 $t-R/c$；这与直接用同时位置画角分布是不同层次。保留完整推迟势后求场，还要计入 $-\partial_t\mathbf A_\tau$。该有效源模型本身仍有宏观、低速源及低频响应的范围，不能把它直接规定为高速闭合拓扑电荷的完整源方程。

从场进入观测还要经过探测器。机械探针涉及其速度、动量和支撑反作用；电光采样涉及晶体取向、频率响应、光路及标定，光学信号不是点电荷力的直接读数。源团的有限分布、源—探针相对构型、边界和时间响应必须接到同一过程，才能比较测得的波形。

因此本页完成的是候选梯度、方向一致性及通量的检查。完整高速源及其装置映射仍由运动场任务和高 γ 场开放案例追踪；不从一幅角分布图补造确定的高速预言。