电磁波：从横向空间动力学到自由 Maxwell 表示

01局域运动作用之后还要解释传播

磁力基础构型说明共同运动怎样改变横向作用，连续势说明怎样表示这种空间响应。电磁波进一步问：源的作用已经离开之后，什么自由度能够在空间中传播，携带能量和偏振？ASD 以横向空间状态的动力学回答这一问题，再把它归一化为电磁变量。

本页以 $t$ 为所选过程参数、$c$ 为均匀基态的特征传播速度。闭合物质结构的平移速度 $v$ 进入 LVE 的 $\gamma(v)$；自由横波的传播速度不是这种物质平移，不能把 $v=c$ 代入两电荷构型的长度因子。发射源、核外自由传播和物质接收器分别建模，再组合为可比较的信号。

02恢复能与变化能怎样形成横向方程

在均匀基态、长波、弱扰动的连续层，取长度量纲的空间状态 $\mathbf u_T(\mathbf x,t)$，并在衰减或相容边界条件下满足 $\nabla\cdot\mathbf u_T=0$。这个无散约束选择横向自由度。常量 $\rho_s>0$ 是有效惯性系数，量纲为 kg/m³；$K_T>0$ 是横向恢复系数，量纲为 Pa。最低阶二次拉格朗日密度为：

第一项计入状态过程变化的动能，第二项描述空间旋度的恢复能。$K_T$ 是这里的恢复系数，不是有向长度因子 $K(\phi)$。正系数使自由能量为正；二次形式是已声明的有效构成，并不预先指定某个微观晶格。

令 $S_T=\int\mathcal L_T^{(2)}\,d^3x\,dt$，时间端点及空间边界上变分消失。先对变化项作时间分部积分，再对旋度项作空间分部积分，得到：

在常系数和相容边界下，括号中的量属于横向扇区，横向变分给出：

第二种写法使用 $\nabla\times(\nabla\times\mathbf u_T)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf u_T)-\nabla^2\mathbf u_T=-\nabla^2\mathbf u_T$。这一步已经得到自由横波，速度为 $c_T=\sqrt{K_T/\rho_s}$；它还没有仅凭数学变分就确定 $c_T=c$。

03空间状态怎样归一化为自由电磁场

在无源辐射区固定相应规范与边界，令 $\mathbf A_T=\mathbf A_\tau^\perp$ 为矢势的横向投影。取常数 $N_T$，把状态、空间旋度和过程变化分别联系为：

下标 $\tau$ 标记电磁扭转通道，$T$ 标记横向分量；$\boldsymbol\Omega_T=\nabla\times\mathbf u_T$ 是无量纲局域旋度，$N_T$ 的单位为 V·s/m²。磁场表达空间状态的扭转，辐射横向电场表达同一状态的过程变化。这里的对应不延伸为任意规范下所有势均等于物理位移。

把这些定义代入自由电磁作用量，分别匹配时间项和空间项系数，取：

因此 $c_T=c$ 依赖所列系数匹配与电磁归一化，而非仅因观察到光传播就反推任意本构参数。这些微观系数仍需底层动力学确定，FCC 只是后续候选微观实现。

无散约束给出 $\nabla\cdot\mathbf E_T=0$，旋度的散度给出 $\nabla\cdot\mathbf B=0$；空间旋度与时间导数可交换，得到法拉第关系。剩余的旋度方程由刚才的空间波动方程产生：

于是四条关系为：

自由 Maxwell 表示在所取二次横向模型内已经完成推导。横向约束、边界、归一化和系数匹配是其明确前提；它是空间横向动力学的等价有效表示，没有被作为独立基本公设替代前面的推导。它也尚未同时确定静电源、电荷量子化或一般高速拓扑核心。

04同一通道怎样确定真空常数与波阻抗

第三章第六节第 4 小节把静态库仑基准、运动磁差额和自由横波归一化连在一起。磁差额的系数为 $1/(\varepsilon_0c^2)$，用 SI 磁学量表示就是 $\mu_0$。在自由横向通道中，能量密度则为

这对应原书式（3.47d）。逐项与 $\varepsilon_0E_T^2/2+B^2/(2\mu_0)$ 匹配，得到式（3.47e）：$\varepsilon_0=\rho_s/N_T^2$、$1/\mu_0=K_T/N_T^2$。因此在既定归一化下，电场能对应横向运动能，磁场能对应扭转恢复能；$\varepsilon_0\mu_0=\rho_s/K_T=c^{-2}$ 把传播速度与这两个系数联系起来。

光速只固定乘积，仍留有一个耦合标度。以真空波阻抗表示，式（3.47f）—（3.47g）为

$Z_0$ 的单位为欧姆，均匀平面横波满足 $|\mathbf E_T|/|\mathbf H|=Z_0$，其中真空 $\mathbf H=\mathbf B/\mu_0$；它是场幅比例，不是耗散电阻。$\alpha$ 是无量纲精细结构常数。现行 SI 固定 $e,h,c$ 的定义数值，$\mu_0$ 不再是精确规定的 $4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}$，其数值由实验确定的 $\alpha$ 关联确定，见 CGPM 2018 第 1 号决议。ASD 对耦合标度的微观解释还需确定 $N_T$，并令静态源和传播使用同一归一化。

05波数、偏振和能流怎样从方程读出

在无源均匀区，以下省略横向电场下标，$\mathbf E$ 指 $\mathbf E_T$。对法拉第关系取旋度，再用 $\nabla\cdot\mathbf E=0$ 和另一旋度方程，得 $(\nabla^2-c^{-2}\partial_t^2)\mathbf E=0$；磁场满足同形方程。代入平面波 $\exp[i(\mathbf k\cdot\mathbf x-\omega t)]$，有：

$\mathbf k$ 是波矢，$k=|\mathbf k|$，$\omega$ 是角频率，$\hat{\mathbf k}$ 是传播方向。两个场均垂直于传播方向，并满足 $B=E/c$。两个独立横向偏振可组合成线、圆或椭圆偏振；在这一均匀、各向同性、无色散层，相速度与群速度都为 $c$。

传播还必须带着能量。安培—Maxwell 方程点乘 $\mathbf E$，法拉第方程点乘 $\mathbf B/\mu_0$，再用 $\nabla\cdot(\mathbf E\times\mathbf B)=\mathbf B\cdot\nabla\times\mathbf E-\mathbf E\cdot\nabla\times\mathbf B$，得到：

$u_{\mathrm{em}}$ 为 J/m³ 的自由场能量密度，$\mathbf S$ 为 W/m² 的能流，$\mathbf J$ 为有效电流密度。自由区 $\mathbf J=0$，能量局域守恒；平面波中电、磁两项能量相等，$|\mathbf S|=cu_{\mathrm{em}}$。有源时 $-\mathbf J\cdot\mathbf E$ 与物质得能项符号相反，总能量交换一致。

在同一有效体系中，书稿式（3.49）—（3.50）进一步用 $\mathbf g_{\mathrm{em}}=\mathbf S/c^2$ 和电磁应力张量组织动量交换。场和物质共同承担动量，边界应力与辐射也要进入收支；不能只取自由能流就代替完整仪器受力计算。

06有源场还需要哪些构成选择

自由传播已经给出因果通道，但源怎样进入它仍须说明。对常数 $\varepsilon_0$，电荷守恒与高斯约束有：

$\rho_e$ 是带符号电荷密度。这条散度关系说明位移电流可以维持源的一致性，但仍允许附加无散项，故守恒本身不唯一确定完整场方程。第三章另选最低阶、局域、线性的有效源作用量：

前两项是自由场部分，$-\rho_e\Phi_\tau+\mathbf J\cdot\mathbf A_\tau$ 是源耦合。源部分限定于宏观有效电流、低速物质源及准静态或低频推迟响应；低速、近区与长波分别约束不同条件，不能混成一个笼统限定。自由波的传播速度不因这个源近似而变成低速。

标势变分时 $\delta\mathbf E=-\nabla\delta\Phi_\tau$，分部积分的系数为 $\varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf E-\rho_e$。矢势变分时 $\delta\mathbf E=-\partial_t\delta\mathbf A_\tau$、$\delta\mathbf B=\nabla\times\delta\mathbf A_\tau$，系数为 $\varepsilon_0\partial_t\mathbf E-\mu_0^{-1}\nabla\times\mathbf B+\mathbf J$。令独立变分系数为零，得到：

加上势定义给出的无散及法拉第恒等式，组成有源 Maxwell 有效体系。场方程在给定作用量后变分闭合；源耦合仍是构成选择，尚不能替代高速闭合拓扑电荷的独立源方程。

规范变化下，源作用量只增加边界项和 $-\chi(\partial_t\rho_e+\nabla\cdot\mathbf J)$ 的积分。源守恒时后一项消失；反过来，对场方程取散度也恢复同一连续性。这说明势表示、有效耦合和守恒在所取模型内相容。

07推迟势怎样连接发射和传播

对局域守恒源选取 Lorenz 规范 $\nabla\cdot\mathbf A_\tau+c^{-2}\partial_t\Phi_\tau=0$，场方程化为书稿式（3.52）的势波动方程。在无入射自由场并满足适当源与边界条件时，其推迟解为：

$\mathbf r$ 是场点，$\mathbf r'$ 是源积分位置，$R=|\mathbf r-\mathbf r'|$，源在 $t-R/c$ 取值。传播核表达局域源改变以 $c$ 到达场点；有入射波时另加齐次解。改变规范不改变标势与横向势共同组成的物理电场的因果响应。

近区准静态势是这个有效源响应的最低阶表示。匀速源在均匀无限背景中可以带着随源平移的伴随场，其无穷远持续辐射通量为零；加速、结构变化或边界可以激发向外传播的辐射。完整高速辐射强度不能只从 $K(\phi)$ 的角尺度确定，接收信号还须经过物质探测器。

08加速怎样使伴随结构向远区释放能量

在低速点源、远区条件下，从推迟势保留加速度产生的 $1/R$ 项，最终式（3.57）给出

$\mathbf n$ 从源指向观察点，$t_R$ 为推迟时刻，$\mathbf a(t_R)$ 为源加速度。双重叉乘选出与观察方向垂直的加速度分量。把场代入能流并乘远区面积元 $R^2d\Omega$，式（3.58）给出

$\theta_a$ 是观察方向与加速度的夹角，不是与速度的夹角。总功率使用 $\int\sin^2\theta_a\,d\Omega=8\pi/3$。这一结果已经给出所选低速有效源的辐射角分布与总能量损失；它没有把自由物质 $m_0$ 的机械能当作无需源反作用即可无限提供的能量。

另设观察方向与速度的夹角为 $\phi$。在 $\gamma\gg1,\phi\ll1$ 下，式（3.59）的尺度展开为 $K(\phi)\simeq(1+\gamma^2\phi^2)/(2\gamma)$，由两项同阶得 $\phi_c\sim\gamma^{-1}$。这是前向几何角尺度，不是完整高速辐射功率，更不单独提供 ASD 独有的相干残差。源振幅、偏振、加速度及接收标准必须同时计算。

09比较测量状态与改写同一个场解

最终式（3.60）以 $\Psi=\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t$ 表示相位，$k=2\pi/\lambda$、$\omega=2\pi f$。此处 $\Psi$ 是波相位，不是引力势。比较两个规定的测量状态时，$\lambda'=K\lambda$ 与两状态的 $f\lambda=c$ 共同给出 $f'=f/K$、$T'=KT$，其中 $T=1/f$。但把同一个场解改用另一组空间坐标表达，可以保持同一个过程参数 $t$；此操作只应用自己的链式法则，不再附加一次测量状态的频率变换。

原书式（3.62）给出了一个必须与实验提议同时保留的抵消：

同一段路径与波长若受同一个常数因子缩放，相位计数不变。真实实验以同一发射相位、接收事件及频率标准为比较依据；仅画出波面形变不能代替这些量共同作用后的残差计算。

10固定三轴映射已经给出什么

在均匀局域区选择沿 $+x$ 的传播分支，物质速度也沿 $x$。最终式（3.63）—（3.68）采用常数 $K_x=\gamma(1-\beta)$、$K_y=K_z=\gamma$ 及 $x_{T,i}=K_ix_i$，保持同一 $t$。在真值正交基中表示场分量，再把自变量拉回参考坐标，链式法则给出

常系数使算子彼此可交换，故有效无散、旋度恒等式与波动方程保持相容。沿所选正向分支 $x=ct/K_x$，参考坐标速度为 $c/K_x$，真值速度 $dx_T/dt=K_x(c/K_x)=c$。这里 $c$ 由先前波方程与系数匹配输入，最后一个等式检验坐标表示的一致性。

11为什么完整有向几何不能只用椭球代替

当定义 $r_T=K(\phi)r$ 并要求同一 $t$ 下 $r_T=ct$ 时，最终式（3.69）给出 $r(\phi,t)=ct/K(\phi)$。与此不同，固定三轴映射将真值球面写成 $K_x^2x^2+K_y^2y^2+K_z^2z^2=c^2t^2$，其方向因子

满足 $K_{\rm axes}(-\hat{\mathbf n})=K_{\rm axes}(\hat{\mathbf n})$；完整有向 $K$ 一般不具备这一对称性。因此固定分支计算已经成立，但对称椭球不是任意方向 LVE 的全局实现。式（3.72）还给出 $[K(\phi)+K(\phi+\pi)]/2=\gamma$，这个偶对称平均没有方向依赖，也不能单独产生非球面椭球或往返干涉差。

若另行指定正交度规 $g_{ij}=K_i^2\delta_{ij}$ 并允许尺度随位置变化，式（3.73）的标量算子为 $\Delta_g f=J^{-1}\sum_i\partial_i[(J/K_i^2)\partial_i f]$，$J=K_xK_yK_z$。系数梯度不能省去；矢量场还要处理基底变化，含时尺度还影响时间导数。完整有向几何与装置收发链路应在这些已完成局部结果上继续建立。