ASDANISOTROPIC
SPACE DYNAMICS
ENAI Researcher
ASD从一个式号，追溯整条论证。
ASD EQUATION REGISTRY

从一个式号，追溯整条论证。

按编号、名称与状态查找关系式，查看它的物理输入、代数依赖和使用位置。

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光传播计量关系

计量与运动学
理论 · 理论起点
ASD-WEB-MET-001
r=ct,c=299 792 458  m s−1r=ct,\quad c=299\,792\,458\;\mathrm{m\,s^{-1}}

c 的数值由 SI 定义固定；r 指指定真空传播路径，不自动等于任意两点的坐标距离。
书稿来源：第一章式（1.1）；BIPM 米定义 · ASD-BOOK-ddbade997b45

横向长度矢量效应

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-001
L⊥′=γL⊥,γ=11−β2L^{\prime}_{\perp}=\gamma L_{\perp},\quad\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}

L⊥ 是参考横向长度，L′⊥ 是 ASD 定义的运动关联真值长度；运动方向与所比较尺度垂直，0 ≤ v < c。
书稿来源：第一章式（1.17）—（1.19） · ASD-BOOK-ddbade997b45

低速展开

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-002
γ=1+β22+O(β4)\gamma=1+\frac{\beta^2}{2}+O(\beta^4)

β ≪ 1；由第一章式（1.10）作代数展开的网页补充，原章没有为此展开另设式号。
书稿来源：第一章式（1.10）的网页低速展开，无新增书稿式号 · ASD-BOOK-ddbade997b45

动量与总能量

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-001
p=γm0v,E=γm0c2p=\gamma m_0v,\quad E=\gamma m_0c^2

动量使用惯性构成闭合，总能量另使用 E₀=m₀c²；详细推导与原始式号分别保留。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三 (2.13)—(2.14), (2.24) · ASD-BOOK-ddbade997b45

横向真值作用距离

电磁相互作用
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-002
rT=γr,γ=(1−β2)−1/2r_T=\gamma r,\qquad \gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}

同速、平行、横向分离；速度相对于局域均匀背景。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.1)、(3.2) · ASD-BOOK-ddbade997b45

磁作用减少量

电磁相互作用
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-004
Fmred=F0−FT=β2F0F_m^{\mathrm{red}}=F_0-F_T=\beta^2 F_0

保留旧编号的正减少量约定；它不是带符号的磁力矢量。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.5)、(3.6) · ASD-BOOK-ddbade997b45

频率与波长比

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-001
ν2ν1=λ1λ2\frac{\nu_2}{\nu_1}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}

保留原 ID 与公式；仅比较按共同参考表示的频率和波长。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §一 (2.1)—(2.2a)；同一参考下的波长频率比 · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-WAV-001
∂t2ψL−c2∇2ψL=0,ω2=c2∣k∣2\partial_t^2\psi_L-c^2\nabla^2\psi_L=0,\quad\omega^2=c^2|\mathbf k|^2

兼容登记中的ψL在此取σ=-∇·uL的无源线性密度通道；均匀长波、相容边界，密度能量保留1/k²动能核。非独立新标量本构。
书稿来源：Ch. 5 (5.4.6), source-free density channel; (5.4.8)–(5.4.10) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-WAV-002
∂t2uT−c2∇2uT=0,∇⋅uT=0\partial_t^2\mathbf u_T-c^2\nabla^2\mathbf u_T=0,\quad\nabla\cdot\mathbf u_T=0

兼容公式：常系数、长波、无源且共同波速匹配后的横向位移；保留无散约束，不能替代非线性物质或张量分支。
书稿来源：Ch. 4 (4.8)–(4.9); Ch. 5 (5.1.9), (5.4.1)–(5.4.2) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-FCC-001
∑ndn,idn,j=2a02δij\sum_n d_{n,i}d_{n,j}=2a_0^2\delta_{ij}

十二近邻的几何二阶矩；a₀为常规立方晶胞边长、近邻距a₀/√2。矢量纵横同速另需连接动力学与本构匹配。
书稿来源：Ch. 4 (4.3)–(4.4); Ch. 5 (5.1.3)–(5.1.4) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 开放问题
ASD-WEB-QM-001
λ=hp\lambda=\frac{h}{p}

保留历史 OPEN 身份；最终书稿已在单激发作用量及完整着装动量匹配下得到 λ=h/p。仍需完成的是微观运动族如何产生并维持该匹配。
书稿来源：Ch. 5 (5.2.12)–(5.2.14) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 开放问题
ASD-WEB-QM-002
ρ=∣ψ∣2\rho=|\psi|^2

保留历史 OPEN 身份；最终书稿已有线性吸收、条件事件率及位置归一化结果。普适统计、任意初态弛豫与一次一记录机制仍待闭合。
书稿来源：Ch. 5 (5.3.17)–(5.3.22), §7 · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 理论起点
ASD-WEB-LVE-004
r=xi+yj+zk,r=ctr′=x′i+y′j+z′k,r′=ct′\begin{aligned}\mathbf r&=x\mathbf i+y\mathbf j+z\mathbf k,&r&=ct\\\mathbf r^{\prime}&=x^{\prime}\mathbf i+y^{\prime}\mathbf j+z^{\prime}\mathbf k,&r^{\prime}&=ct^{\prime}\end{aligned}

各次测量均使用相同的 c；撇号的对象、端点和传播方向须与该次构型一起指定。
书稿来源：第一章 §二，式（1.3）–（1.6） · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-005
r′=γ(r−vt)v=vxi+vyj+vzkr=γ(r′+vt′)\begin{aligned}\mathbf r^{\prime}&=\gamma(\mathbf r-\mathbf v t)\\\mathbf v&=v_x\mathbf i+v_y\mathbf j+v_z\mathbf k\\\mathbf r&=\gamma(\mathbf r^{\prime}+\mathbf v t^{\prime})\end{aligned}

书稿对两次测量采用相同尺度因子。两式的事件配对和逆映射条件见推导页“一致性检查”；本式不被预设为洛伦兹变换。
书稿来源：第一章 §二，式（1.7）–（1.9） · ASD-BOOK-ddbade997b45

运动尺度因子

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-006
γ(v)=11−v2/c2=11−β2,β=vc\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad\beta=\frac vc

在书稿采用的正反向配对与归一化条件下取正根；0 ≤ v < c。归一化条件的几何充分性列入人工复核。
书稿来源：第一章 §二，式（1.10） · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-007
t′=t γ(1−βcos⁡ϕ)t^{\prime}=t\,\gamma(1-\beta\cos\phi)

φ 为观察者相对速度与所指定光传播／测量方向之间的角。由沿方向的投影关系得到，不能替代未说明同步规则的一般坐标时间变换。
书稿来源：第一章 §二，式（1.11）–（1.12） · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-008
r′=r γ(1−βcos⁡ϕ)r^{\prime}=r\,\gamma(1-\beta\cos\phi)

这里以 r、r′ 表示同一指定方向的长度标量；书稿带箭头的记号及其方向性含义在推导中保留说明。
书稿来源：第一章 §二，式（1.13） · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-009
x′=γ(x−vt)y′=γyz′=γz\begin{aligned}x^{\prime}&=\gamma(x-vt)\\y^{\prime}&=\gamma y\\z^{\prime}&=\gamma z\end{aligned}

取 v=(v,0,0)，直接展开书稿的向量构造；横向分量保留 γ，不能替换为标准洛伦兹横向坐标关系。
书稿来源：第一章 §二，式（1.15）–（1.18） · ASD-BOOK-ddbade997b45

作为长度的波长响应

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-010
λ=r,λ′=λ γ(1−βcos⁡ϕ)\lambda=r,\qquad\lambda^{\prime}=\lambda\,\gamma(1-\beta\cos\phi)

将 r 取为一个周期的传播长度；φ 的定义沿用书稿测量构型。
书稿来源：第一章 §3.1，式（1.21）–（1.22） · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-011
λ′f′=λf=c,f′=fγ(1−βcos⁡ϕ)\lambda^{\prime}f^{\prime}=\lambda f=c,\qquad f^{\prime}=\frac{f}{\gamma(1-\beta\cos\phi)}

频率关系来自相同 c 下的波长变化。与其他理论比较前，必须对齐发射／接收参考系以及角度定义。
书稿来源：第一章 §3.1，式（1.23）–（1.25） · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-012
t1′=Lcγ(1−β),t2′=Lcγ(1+β)T∥′=t1′+t2′=2γLc\begin{aligned}t_1^{\prime}&=\frac Lc\gamma(1-\beta),&t_2^{\prime}&=\frac Lc\gamma(1+\beta)\\T_{\parallel}^{\prime}&=t_1^{\prime}+t_2^{\prime}=\frac{2\gamma L}{c}\end{aligned}

理想等臂构型，忽略实验装置非理想项；比较的是两臂差分。
书稿来源：第一章 §3.2，式（1.26）–（1.28） · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-013
t⊥′=γLc,T⊥′=2t⊥′=2γLc=T∥′t_{\perp}^{\prime}=\frac{\gamma L}{c},\qquad T_{\perp}^{\prime}=2t_{\perp}^{\prime}=\frac{2\gamma L}{c}=T_{\parallel}^{\prime}

模型给出零差分；零差分相同不意味着共同因子 γ 已被该实验独立测得。
书稿来源：第一章 §3.2，式（1.29）–（1.30） · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-014
Lopt=nL,Lopt′=nLγ(1−βcos⁡ϕ)t1′=nLcγ(1−β),t2′=nLcγ(1+β)T′=2nLγc\begin{aligned}L_{\mathrm{opt}}&=nL,\quad L_{\mathrm{opt}}^{\prime}=nL\gamma(1-\beta\cos\phi)\\t_1^{\prime}&=\frac{nL}{c}\gamma(1-\beta),\quad t_2^{\prime}=\frac{nL}{c}\gamma(1+\beta)\\T^{\prime}&=\frac{2nL\gamma}{c}\end{aligned}

此处只表达书稿的介质光程模型；与 Hoek 原装置各段路径及相位的对应仍需复核。
书稿来源：第一章 §3.3，式（1.31）–（1.35） · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-015
trev′=tγ(1−β),tco′=tγ(1+β)Δt=tco′−trev′=2tβγ\begin{aligned}t_{\mathrm{rev}}^{\prime}&=t\gamma(1-\beta),&t_{\mathrm{co}}^{\prime}&=t\gamma(1+\beta)\\\Delta t&=t_{\mathrm{co}}^{\prime}-t_{\mathrm{rev}}^{\prime}=2t\beta\gamma\end{aligned}

此节由物体运动描述，书稿对同／反向角度作了相应约定；不能直接沿用观察者运动的正负号。
书稿来源：第一章 §3.5，式（1.36）–（1.38） · ASD-BOOK-ddbade997b45

圆形回路的面积形式

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-016
t=2πRc,v=R′ω,R′=γRΔt=4πωR′2c2=4ωS′c2,S′=πR′2\begin{aligned}t&=\frac{2\pi R}{c},&v&=R^{\prime}\omega,&R^{\prime}&=\gamma R\\\Delta t&=\frac{4\pi\omega R^{\prime2}}{c^2}=\frac{4\omega S^{\prime}}{c^2},&S^{\prime}&=\pi R^{\prime2}\end{aligned}

采用书稿的静止半径 R 与运动关联半径 R′；与标准 Sagnac 表达式对账需先固定面积和计时方式，不能仅凭面积形式断言全阶相同。
书稿来源：第一章 §3.5，式（1.39）–（1.43） · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-017
T=Lv,L′=Lγ(1−β)=L1−β1+βT=\frac Lv,\qquad L^{\prime}=L\gamma(1-\beta)=L\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}

T=L/v 用于恒定速率、指定方向上的过程；不能省略衰变统计、路径与观测框架的对应。
书稿来源：第一章 §3.6，式（1.44）–（1.45） · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-018
L=L′1+β1−β=6431.9980.002 m=643999 m=1929111 m≈20323.276089 m≈20323.3 m\begin{aligned}L&=L^{\prime}\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}=643\sqrt{\frac{1.998}{0.002}}\,\mathrm m\\&=643\sqrt{999}\,\mathrm m=1929\sqrt{111}\,\mathrm m\approx20323.276089\,\mathrm m\approx20323.3\,\mathrm m\end{aligned}

式（1.45）—（1.46）的网页代数展开；最终书稿写约20323 m。输入为示例近似值，更多小数仅供算术核对，不代表实验精度，也不是存活率拟合。
书稿来源：第一章 §3.6，式（1.46） · ASD-BOOK-ddbade997b45

书稿理想运钟关系

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-LVE-019
T′T=1−β1+β\frac{T^{\prime}}T=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}

书稿忽略重力、地球自转等条件的理想化表达；尚未给出真实运钟轨迹、同步方案和总钟差计算。
书稿来源：第一章 §3.6，式（1.47） · ASD-BOOK-ddbade997b45

SI 秒的频率基准

计量与运动学
理论 · 理论起点
ASD-WEB-MET-003
ΔνCs=9 192 631 770  Hz\Delta\nu_{\mathrm{Cs}}=9\,192\,631\,770\;\mathrm{Hz}

未受扰动的铯 133 原子基态超精细跃迁；定义值没有测量不确定度，实际实现有。
书稿来源：第一章 §一的计量背景；BIPM 秒定义（外部定义） · ASD-BOOK-ddbade997b45

变速过程的累计历时

计量与运动学
理论 · 理论起点
ASD-WEB-TIME-001
t=∫SaSbdSv(S)t=\int_{S_a}^{S_b}\frac{\mathrm dS}{v(S)}

沿单调弧长、正速率的过程积分；停滞区间须另用参考过程计时。原书变速说明的网站显式展开。
书稿来源：第二章 §一.1，变速过程的网页显式展开，无原书式号 · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 理论起点
ASD-WEB-TIME-003
N=∫uaubf(u) du,Δϑ=2πN,tdisp=Nfref.\begin{aligned}N&=\int_{u_a}^{u_b}f(u)\,\mathrm du,\\ \Delta\vartheta&=2\pi N,\qquad t_{\mathrm{disp}}=\frac{N}{f_{\mathrm{ref}}}.\end{aligned}

u 为已约定的参考计数参数；f(u) 为相对于它的实际振荡频率。f_ref 是显示刻度的固定校准频率。 累计相位记为ϑ，与运动夹角φ、长程拉伸势varphi区分。
书稿来源：第二章 §一.1 的计数与相位含义；网页操作展开，无原书式号 · ASD-BOOK-ddbade997b45

周期的等效相位路径

计量与运动学
理论 · 理论起点
ASD-WEB-TIME-004
τ=Scycc,Scyc=cf\tau=\frac{S_{\mathrm{cyc}}}{c},\qquad S_{\mathrm{cyc}}=\frac cf

原子标准的 S_cyc 是相位长度标度，不等同于电子轨道或原子内部往返光路。
书稿来源：第二章 §一.1，相位尺度说明及式（2.1） · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 理论起点
ASD-WEB-TIME-005
L(r)L0=Ω(r),f(r)f0=Ω(r)−1\frac{L(r)}{L_0}=\Omega(r),\qquad\frac{f(r)}{f_0}=\Omega(r)^{-1}

第二章采用的尺度—振荡耦合；各钟种的微观响应仍需匹配。所有量必须采用同一参考校准。
书稿来源：第二章 §一.2，式（2.2） · ASD-BOOK-ddbade997b45

弱场钟频率比

计量与运动学
理论 · 理论起点
ASD-WEB-TIME-006
f(r2)f(r1)−1=Ψ(r2)−Ψ(r1)c2+O ⁣(Ψ2c4)\frac{f(r_2)}{f(r_1)}-1=\frac{\Psi(r_2)-\Psi(r_1)}{c^2}+O\!\left(\frac{\Psi^2}{c^4}\right)

最终第二章式（2.2a）是指定静态构成下的精确频率比；本登记式保留其一阶弱场展开，要求两处|Ψ|/c²≪1和共同参考标定。不得把弱场近似冒称完整式（2.2a）。
书稿来源：第二章式（2.2a）的一阶弱场展开；其后未编号说明 · ASD-BOOK-ddbade997b45

近核体密度亏空

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-002
mdef=ρ0∫D[1−qρ(x)] dV0m_{\mathrm{def}}=\rho_0\int_{\mathcal D}[1-q_\rho(\mathbf x)]\,\mathrm dV_0

q_ρ 是近核体密度比；D 是有效核心域，不能把远场线密度系数 Φ 当作它。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.1 (2.8) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-003
Veff=∫D(1−qρ) dV0=4πReff33,m0=Cmmdef,Cm=1.\begin{aligned}V_{\mathrm{eff}}&=\int_{\mathcal D}(1-q_\rho)\,\mathrm dV_0=\frac{4\pi R_{\mathrm{eff}}^3}{3},\\m_0&=C_m m_{\mathrm{def}},\qquad C_m=1.\end{aligned}

R_eff 是等亏空体积半径；C_m=1 是本章采用的质量归一化。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.1 (2.9)及归一化 · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-004
L′=LK(ϕ),K(ϕ)=γ(1−βcos⁡ϕ),β=vc,γ=(1−β2)−1/2L^\prime=LK(\phi),\quad K(\phi)=\gamma(1-\beta\cos\phi),\quad\beta=\frac vc,\quad\gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}

保留第一章的方向性真值长度解释及其数学复核条件；χ 是相对于速度的方向角。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.2 (2.10) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-005
K+=γ(1−β),K−=γ(1+β),K+K−=1,K+−1+K−−12=γK_+=\gamma(1-\beta),\quad K_-=\gamma(1+\beta),\quad K_+K_-=1,\quad\frac{K_+^{-1}+K_-^{-1}}2=\gamma

这是两个轴向因子的恒等式；推广成惯性角分布需要另外的构成输入。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.2 (2.10a) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-006
ρI(ϕ)=ρ0γ(1+βcos⁡ϕ),14π∫ρI dΩang=ρ0γ\rho_I(\phi)=\rho_0\gamma(1+\beta\cos\phi),\qquad\frac1{4\pi}\int\rho_I\,\mathrm d\Omega_{\mathrm{ang}}=\rho_0\gamma

最低阶方向偏置和平均增益构成额外输入；ρ_I 不是一般方向的 ρ₀/K(χ)。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.2 (2.11) · ASD-BOOK-ddbade997b45

整体动量积分

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-007
p=v∫0Reffr2 dr∫02πdα∫0πρI(ϕ)sin⁡ϕ dϕ\mathbf p=\mathbf v\int_0^{R_{\mathrm{eff}}}r^2\,dr\int_0^{2\pi}d\alpha\int_0^\pi\rho_I(\phi)\sin\phi\,d\phi

积分使用本章的等效核心及整体平动构造；微观非均匀结构尚需匹配。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.2 (2.12) · ASD-BOOK-ddbade997b45

整体动量

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-008
p=4π3ρ0Reff3γv=m0γv,p=m0γv\mathbf p=\frac{4\pi}{3}\rho_0R_{\mathrm{eff}}^3\gamma\mathbf v=m_0\gamma\mathbf v,\qquad p=m_0\gamma v

方向偏置的奇项角积分为零；在指定质量归一化下得到结果。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.2 (2.13)—(2.14) · ASD-BOOK-ddbade997b45

力的动量定义

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-009
F=dpdt\mathbf F=\frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}

均匀背景、内部状态固定、无净辐射损失的核心与伴随场联合体系。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.3 (2.15) · ASD-BOOK-ddbade997b45

动量的时间导数

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-010
F=m0(γa+γ˙v),a=dvdt\mathbf F=m_0(\gamma\mathbf a+\dot\gamma\mathbf v),\qquad\mathbf a=\frac{\mathrm d\mathbf v}{\mathrm dt}

m₀ 固定时的乘积求导。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.3 (2.16) · ASD-BOOK-ddbade997b45

方向性惯性响应

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-012
F=m0[γI+γ3c2vvT]a=m0γ3a∥+m0γa⊥.\begin{aligned}\mathbf F&=m_0\left[\gamma\mathbf I+\frac{\gamma^3}{c^2}\mathbf v\mathbf v^{\mathsf T}\right]\mathbf a\\&=m_0\gamma^3\mathbf a_\parallel+m_0\gamma\mathbf a_\perp.\end{aligned}

沿速度与垂直速度方向分解加速度；不是两种不同的静止质量。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.3 (2.18) · ASD-BOOK-ddbade997b45

纵向加速

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-013
F∥=m0γ3a∥\mathbf F_\parallel=m_0\gamma^3\mathbf a_\parallel

改变速率时同时改变 γ。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.3 (2.19) · ASD-BOOK-ddbade997b45

低速牛顿极限

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-014
F=m0a+O ⁣(m0∣a∣v2c2)\mathbf F=m_0\mathbf a+O\!\left(\frac{m_0|\mathbf a|v^2}{c^2}\right)

式(2.18)在 v/c≪1 时的网页展开。最终书稿式(2.20)是逆力响应，另见 ASD-WEB-DYN-025。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.3 (2.18)的网页低速展开；不是最终式(2.20) · ASD-BOOK-ddbade997b45

横向加速

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-015
F⊥=m0γa⊥\mathbf F_\perp=m_0\gamma\mathbf a_\perp

瞬时 v·a=0 时，γ 的时间导数为零。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.3 (2.21) · ASD-BOOK-ddbade997b45

由功计算动能

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-017
dEk=v⋅dp,Ek=m0∫0vw dw(1−w2/c2)3/2\mathrm dE_k=\mathbf v\cdot\mathrm d\mathbf p,\qquad E_k=m_0\int_0^v\frac{w\,\mathrm dw}{(1-w^2/c^2)^{3/2}}

动能零点取 v=0；w 为积分速率。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.4 (2.22) · ASD-BOOK-ddbade997b45

动能及低速展开

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-018
Ek=m0c2(γ−1)=m0v22+3m0v48c2+O ⁣(m0v6c4)E_k=m_0c^2(\gamma-1)=\frac{m_0v^2}{2}+\frac{3m_0v^4}{8c^2}+O\!\left(\frac{m_0v^6}{c^4}\right)

由动量—功积分得到，不需要先指定静止能量。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.4 (2.23)；低速级数为网页展开 · ASD-BOOK-ddbade997b45

自由运动拉格朗日量

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-022
L0=−m0c21−v2/c2,p=∂L0∂v,E=p⋅v−L0\mathcal L_0=-m_0c^2\sqrt{1-v^2/c^2},\qquad\mathbf p=\frac{\partial\mathcal L_0}{\partial\mathbf v},\qquad E=\mathbf p\cdot\mathbf v-\mathcal L_0

积分常数由 L₀(0)=−E₀ 固定；𝓛₀ 表示拉格朗日量，区别于长度 L。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.4 (2.24b) · ASD-BOOK-ddbade997b45

普适质量耦合归一化

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-023
mE=mi=mg(a)=mg(p)=m0m_E=m_i=m_g^{(a)}=m_g^{(p)}=m_0

能量、惯性及主动/被动引力质量作为同一结构的不同响应；本章采用普适耦合条件。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.5 (2.24c) · ASD-BOOK-ddbade997b45

外场耦合的接口

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-024
Uext=m0Ψext=12m0c2(Xext−1),Fg=−∇Uext=m0gXU_{\mathrm{ext}}=m_0\Psi_{\mathrm{ext}}=\frac12m_0c^2(X_{\mathrm{ext}}-1),\qquad\mathbf F_g=-\nabla U_{\mathrm{ext}}=m_0\mathbf g_X

作为后续 Gravity 模块的输入接口，当前不展开背景场和轨道方程。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.5 (2.24d) · ASD-BOOK-ddbade997b45

球对称外部尺度律

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-002
Ω=(1−2G0Mc2r)−1/2,Φ=Ω−1\Omega=\left(1-\frac{2G_0M}{c^2r}\right)^{-1/2},\quad\Phi=\Omega^{-1}

r 为面积半径且 r > 2G₀M/c²；完整强场函数是构成输入，不能由弱场红移唯一确定。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §一.2 (2.3)—(2.4) · ASD-BOOK-ddbade997b45

空间状态与势

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-003
X=Φ2=1−2G0Mc2r,Ψ=c22(X−1)=−G0MrX=\Phi^2=1-\frac{2G_0M}{c^2r},\quad\Psi=\frac{c^2}{2}(X-1)=-\frac{G_0M}{r}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §二.2 (2.6) · ASD-BOOK-ddbade997b45

弱场引力梯度

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-004
gX=−∇Ψ=−c22∇X=−G0Mr2r^\mathbf g_X=-\nabla\Psi=-\frac{c^2}{2}\nabla X=-\frac{G_0M}{r^2}\hat{\mathbf r}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §二.2 (2.7) · ASD-BOOK-ddbade997b45

弱静态源与远场通量

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-005
∇2Ψ=4πG0ρg,∇2X=8πG0c2ρg,M=c28πG0∮∇X⋅dS\nabla^2\Psi=4\pi G_0\rho_g,\quad\nabla^2X=\frac{8\pi G_0}{c^2}\rho_g,\quad M=\frac{c^2}{8\pi G_0}\oint\nabla X\cdot d\mathbf S

参考坐标中的弱静态源方程，不是已闭合的动态强场母方程。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §二.2 (2.7a)—(2.7b) · ASD-BOOK-ddbade997b45

真实空间长度律

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-006
dℓs2=X−1dr2+r2dφ2d\ell_s^2=X^{-1}dr^2+r^2d\varphi^2

径向长度律为构成输入；面积半径已确定切向弧长，不重复乘以 Ω。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.1 (2.25) · ASD-BOOK-ddbade997b45

局域周期与速度

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-007
dN=f0Φ dt,v∗=f0dℓsdN=Φ−1dℓsdtdN=f_0\Phi\,dt,\quad v_* =\frac{f_0d\ell_s}{dN}=\Phi^{-1}\frac{d\ell_s}{dt}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.1，式(2.25)之后未编号关系 · ASD-BOOK-ddbade997b45

统一参考光程

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-008
dℓopt2=Φ−2dℓs2=X−2dr2+X−1r2dφ2,dt=dℓoptcd\ell_{\mathrm{opt}}^2=\Phi^{-2}d\ell_s^2=X^{-2}dr^2+X^{-1}r^2d\varphi^2,\quad dt=\frac{d\ell_{\mathrm{opt}}}{c}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.1 (2.26) · ASD-BOOK-ddbade997b45

共同参考下的频率比

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-009
f(r2)f(r1)=Φ(r2)Φ(r1)=1−2G0M/(c2r2)1−2G0M/(c2r1)\frac{f(r_2)}{f(r_1)}=\frac{\Phi(r_2)}{\Phi(r_1)}=\sqrt{\frac{1-2G_0M/(c^2r_2)}{1-2G_0M/(c^2r_1)}}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §一.2 (2.2a)的球对称外部特例 · ASD-BOOK-ddbade997b45

费马光程驻值

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-010
T[Γ]=1c∫Γdℓopt,δT=0T[\Gamma]=\frac1c\int_\Gamma d\ell_{\mathrm{opt}},\quad\delta T=0

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.4 (2.43) · ASD-BOOK-ddbade997b45

各向同性径向坐标

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-011
r=ρ(1+q)2,q=ℓg2ρ,X=(1−q)2(1+q)2,drdρ=1−q2r=\rho(1+q)^2,\quad q=\frac{\ell_g}{2\rho},\quad X=\frac{(1-q)^2}{(1+q)^2},\quad\frac{dr}{d\rho}=1-q^2

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.4 (2.44)及相邻代换 · ASD-BOOK-ddbade997b45

各向同性光程系数

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-012
dℓopt=nisods0,niso=(1+q)31−q=1+2ℓgρ+O(ℓg2/ρ2)d\ell_{\mathrm{opt}}=n_{\mathrm{iso}}ds_0,\quad n_{\mathrm{iso}}=\frac{(1+q)^3}{1-q}=1+\frac{2\ell_g}{\rho}+O(\ell_g^2/\rho^2)

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.4 (2.45)—(2.46) · ASD-BOOK-ddbade997b45

费马射线方程

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-013
dds0(nisoe)=∇niso,e=dxds0\frac{d}{ds_0}(n_{\mathrm{iso}}\mathbf e)=\nabla n_{\mathrm{iso}},\quad\mathbf e=\frac{d\mathbf x}{ds_0}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.5 (2.47) · ASD-BOOK-ddbade997b45

一阶横向方向变化

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-014
dθdx≃∂niso∂y∣y=b=−2ℓgb(x2+b2)3/2\frac{d\theta}{dx}\simeq\left.\frac{\partial n_{\mathrm{iso}}}{\partial y}\right|_{y=b}=-\frac{2\ell_gb}{(x^2+b^2)^{3/2}}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.5 (2.48)；保留线性小偏折精度 · ASD-BOOK-ddbade997b45

偏折角积分

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-015
αdef=2ℓg∫−∞+∞b dx(x2+b2)3/2\alpha_{\mathrm{def}}=2\ell_g\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{b\,dx}{(x^2+b^2)^{3/2}}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.5 (2.49) · ASD-BOOK-ddbade997b45

弱场光偏折

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-016
αdef=4G0Mc2b+O(ℓg2/b2)\alpha_{\mathrm{def}}=\frac{4G_0M}{c^2b}+O(\ell_g^2/b^2)

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.5 (2.50)；网页显式注明高阶余项 · ASD-BOOK-ddbade997b45

固定端点传播时间

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-017
T[Γ]=1c∫Γniso ds0T[\Gamma]=\frac1c\int_\Gamma n_{\mathrm{iso}}\,ds_0

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.6 (2.51) · ASD-BOOK-ddbade997b45

一程延迟定义

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-018
ΔT=T−R12c\Delta T=T-\frac{R_{12}}c

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.6 (2.52) · ASD-BOOK-ddbade997b45

额外光程积分

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-019
ΔT≃2G0Mc3∫−x1x2dxx2+b2\Delta T\simeq\frac{2G_0M}{c^3}\int_{-x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{x^2+b^2}}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.6 (2.53)—(2.54)；首阶弱场积分 · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-020
ΔT=2G0Mc3ln⁡ ⁣[(ρ1+x1)(ρ2+x2)b2]\Delta T=\frac{2G_0M}{c^3}\ln\!\left[\frac{(\rho_1+x_1)(\rho_2+x_2)}{b^2}\right]

等号仅在一阶精度内使用；端点在最近接点两侧。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.6 (2.55) · ASD-BOOK-ddbade997b45

端点距离表示

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-021
ΔT=2G0Mc3ln⁡ ⁣(ρ1+ρ2+R12ρ1+ρ2−R12)\Delta T=\frac{2G_0M}{c^3}\ln\!\left(\frac{\rho_1+\rho_2+R_{12}}{\rho_1+\rho_2-R_{12}}\right)

等号仅在一阶精度内使用；所有端点距离使用同一坐标。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.6 (2.56)—(2.57) · ASD-BOOK-ddbade997b45

远端点近似

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-022
ΔT≃2G0Mc3ln⁡ ⁣(4ρ1ρ2b2)\Delta T\simeq\frac{2G_0M}{c^3}\ln\!\left(\frac{4\rho_1\rho_2}{b^2}\right)

首阶弱场结果的远端点渐近式，ρ₁,ρ₂≫b；最终式(2.57)为端点对数真数恒等式。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.6 (2.58)后远端点渐近式；不是最终式(2.57) · ASD-BOOK-ddbade997b45

静态往返延迟

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-023
ΔTround=2ΔT=4G0Mc3ln⁡ ⁣(ρ1+ρ2+R12ρ1+ρ2−R12)\Delta T_{\mathrm{round}}=2\Delta T=\frac{4G_0M}{c^3}\ln\!\left(\frac{\rho_1+\rho_2+R_{12}}{\rho_1+\rho_2-R_{12}}\right)

首阶静态弱场中，固定端点且去回程几何相同的完整端点式；不再额外要求远端点。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.6 (2.58) · ASD-BOOK-ddbade997b45

静态背景轨道作用量

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-024
L=ΦL0(v∗)=−m0c2X−r˙2c2X−r2φ˙2c2\mathcal L=\Phi\mathcal L_0(v_*)=-m_0c^2\sqrt{X-\frac{\dot r^2}{c^2X}-\frac{r^2\dot\varphi^2}{c^2}}

自由作用量之外，另行采用普适静态能量折算 L dt = L₀(v*) Φ dt。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.2 (2.27) · ASD-BOOK-ddbade997b45

完整一阶后牛顿展开

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-025
Lm0=−c2+v22+U+1c2(v48+Uv22+Uvr2+U22)+O(c−4)\frac{\mathcal L}{m_0}=-c^2+\frac{v^2}2+U+\frac1{c^2}\left(\frac{v^4}8+\frac{Uv^2}2+Uv_r^2+\frac{U^2}2\right)+O(c^{-4})

最终式(2.27)在U/c²、v²/c²≪1下的网页1PN展开，不冒用最终式(2.28)的正则动量编号。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.2 (2.27)的网页1PN展开；不是最终式(2.28) · ASD-BOOK-ddbade997b45

轨道速度域

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-026
D=X−r˙2c2X−r2φ˙2c2>0D=X-\frac{\dot r^2}{c^2X}-\frac{r^2\dot\varphi^2}{c^2}>0

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.2 (2.29) · ASD-BOOK-ddbade997b45

守恒比角动量

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-027
j=1m0∂L∂φ˙=r2φ˙Dj=\frac1{m_0}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot\varphi}=\frac{r^2\dot\varphi}{\sqrt D}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.2 (2.28)、(2.30) · ASD-BOOK-ddbade997b45

守恒参考能量

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-028
pr=m0r˙XD,pφ=m0r2φ˙D,E=E∞m0c2=prr˙+pφφ˙−Lm0c2=XD.\begin{aligned}p_r&=\frac{m_0\dot r}{X\sqrt D},\qquad p_\varphi=\frac{m_0r^2\dot\varphi}{\sqrt D},\\\mathcal E&=\frac{E_\infty}{m_0c^2}=\frac{p_r\dot r+p_\varphi\dot\varphi-\mathcal L}{m_0c^2}=\frac X{\sqrt D}.\end{aligned}

由最终式(2.27)对两个广义速度求导得(2.28)，再作Legendre变换；D>0。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.2 (2.28)—(2.31) · ASD-BOOK-ddbade997b45

消去计数参数

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-029
u=1r,u′=dudφ,φ˙=jD u2,r˙=−jD u′u=\frac1r,\quad u^\prime=\frac{du}{d\varphi},\quad\dot\varphi=j\sqrt D\,u^2,\quad\dot r=-j\sqrt D\,u^\prime

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.3 (2.32)—(2.33) · ASD-BOOK-ddbade997b45

轨道的一阶积分

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-030
(u′)2=c2j2(E2−X)−Xu2(u^\prime)^2=\frac{c^2}{j^2}(\mathcal E^2-X)-Xu^2

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.3 (2.34) · ASD-BOOK-ddbade997b45

一般 X 的形状方程

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-031
u′′=−c22j2dXdu−Xu−12u2dXduu^{\prime\prime}=-\frac{c^2}{2j^2}\frac{dX}{du}-Xu-\frac12u^2\frac{dX}{du}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.3 (2.35) · ASD-BOOK-ddbade997b45

球对称轨道方程

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-032
u′′+u=μj2+3ℓgu2,μ=G0M,ℓg=μ/c2u^{\prime\prime}+u=\frac{\mu}{j^2}+3\ell_gu^2,\quad\mu=G_0M,\quad\ell_g=\mu/c^2

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.3 (2.36) · ASD-BOOK-ddbade997b45

零级椭圆

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-033
u0=1+ecos⁡φporb,porb=j2μ=a(1−e2)u_0=\frac{1+e\cos\varphi}{p_{\mathrm{orb}}},\quad p_{\mathrm{orb}}=\frac{j^2}{\mu}=a(1-e^2)

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.3 (2.37) · ASD-BOOK-ddbade997b45

一阶轨道扰动

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-034
δu′′+δu=3ℓgporb2(1+2ecos⁡φ+e2cos⁡2φ)\delta u^{\prime\prime}+\delta u=\frac{3\ell_g}{p_{\mathrm{orb}}^2}(1+2e\cos\varphi+e^2\cos^2\varphi)

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.3 (2.38) · ASD-BOOK-ddbade997b45

累积项与近日点漂移

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-035
δusec=3ℓgeporb2φsin⁡φ,u≃1+ecos⁡[(1−κ)φ]porb,κ=3ℓgporb\delta u_{\mathrm{sec}}=\frac{3\ell_ge}{p_{\mathrm{orb}}^2}\varphi\sin\varphi,\quad u\simeq\frac{1+e\cos[(1-\kappa)\varphi]}{p_{\mathrm{orb}}},\quad\kappa=\frac{3\ell_g}{p_{\mathrm{orb}}}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.3 (2.39)—(2.41)；旋转椭圆为一阶匹配 · ASD-BOOK-ddbade997b45

每周近日点进动

引力与空间尺度
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-GRV-036
Δϖ=6πG0Ma(1−e2)c2+O ⁣(ℓg2porb2)\Delta\varpi=\frac{6\pi G_0M}{a(1-e^2)c^2}+O\!\left(\frac{\ell_g^2}{p_{\mathrm{orb}}^2}\right)

κ 仅知一阶；展开 2π/(1−κ) 不构成完整二阶进动推导。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §四.3 (2.42) · ASD-BOOK-ddbade997b45

静态外部极限半径

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-037
rh=2G0Mc2=2ℓg,X(rh)=0r_h=\frac{2G_0M}{c^2}=2\ell_g,\quad X(r_h)=0

X 零点由给定函数得到；介质终止是额外强场假说。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §五.1 (2.59) · ASD-BOOK-ddbade997b45

边界附近的长度与光程

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-038
ℓs(rh,r)=r(r−rh)+rhln⁡r+r−rhrh,ℓopt(r1,r2)=(r2−r1)+rhln⁡r2−rhr1−rh.\begin{aligned}\ell_s(r_h,r)&=\sqrt{r(r-r_h)}+r_h\ln\frac{\sqrt r+\sqrt{r-r_h}}{\sqrt{r_h}},\\\ell_{\mathrm{opt}}(r_1,r_2)&=(r_2-r_1)+r_h\ln\frac{r_2-r_h}{r_1-r_h}.\end{aligned}

给定X=1−r_h/r时的精确解析积分；r>r_h，r₂≥r₁>r_h。真实长度有限，内端点趋于边界时参考光程对数发散。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §五.1 (2.60)—(2.62) · ASD-BOOK-ddbade997b45

远场归一化表面梯度

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-039
κX=c22lim⁡r→rh+X′(r)=G0Mrh2=c44G0M\kappa_X=\frac{c^2}{2}\lim_{r\to r_h^+}X^\prime(r)=\frac{G_0M}{r_h^2}=\frac{c^4}{4G_0M}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §五.2 (2.63) · ASD-BOOK-ddbade997b45

局域悬停力

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-040
dW∞=m0G0Mr2X dr,Fhold,locm0=G0Mr2XdW_\infty=\frac{m_0G_0M}{r^2\sqrt X}\,dr,\quad\frac{F_{\mathrm{hold,loc}}}{m_0}=\frac{G_0M}{r^2\sqrt X}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §五.2 (2.64)—(2.65) · ASD-BOOK-ddbade997b45

强场光程函数

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-041
dℓopt2=A2dr2+B2dφ2,A=X−1,B=rX−1/2d\ell_{\mathrm{opt}}^2=\mathcal A^2dr^2+\mathcal B^2d\varphi^2,\quad\mathcal A=X^{-1},\quad\mathcal B=rX^{-1/2}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §五.3 (2.66) · ASD-BOOK-ddbade997b45

守恒光学冲击参数

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-042
b=B2dφdsopt=Bsin⁡ψoptb=\mathcal B^2\frac{d\varphi}{ds_{\mathrm{opt}}}=\mathcal B\sin\psi_{\mathrm{opt}}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §五.3 (2.67) · ASD-BOOK-ddbade997b45

光学径向方程

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-043
A2(drdsopt)2=1−b2B2\mathcal A^2\left(\frac{dr}{ds_{\mathrm{opt}}}\right)^2=1-\frac{b^2}{\mathcal B^2}

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §五.3 (2.68) · ASD-BOOK-ddbade997b45

圆形临界光轨条件

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-044
B=r1−2ℓg/r,B′=1−3ℓg/r(1−2ℓg/r)3/2=0\mathcal B=\frac{r}{\sqrt{1-2\ell_g/r}},\quad\mathcal B^\prime=\frac{1-3\ell_g/r}{(1-2\ell_g/r)^{3/2}}=0

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §五.3 (2.69) · ASD-BOOK-ddbade997b45

静态光子球半径

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-045
rph=3ℓg=3G0Mc2=32rhr_{\mathrm{ph}}=3\ell_g=\frac{3G_0M}{c^2}=\frac32r_h

在本页声明的构成输入与适用范围内成立。书稿式号和网站 ID 分列。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §五.3 (2.70) · ASD-BOOK-ddbade997b45

临界捕获与阴影尺度

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-046
bc=B(rph)=33G0Mc2=332rhb_c=\mathcal B(r_{\mathrm{ph}})=3\sqrt3\frac{G_0M}{c^2}=\frac{3\sqrt3}{2}r_h

捕获要求吸收边界；角尺度约 b_c/Dobs，不等于完整观测亮环。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §五.3 (2.71) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 理论起点
ASD-WEB-EM-005
FT=q1q24πε0rT2r^,F0=q1q24πε0r2r^\mathbf F_T=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r_T^2}\hat{\mathbf r},\qquad\mathbf F_0=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat{\mathbf r}

把真值长度用作作用距离是构成输入；不是由计量关系单独推出。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.3) · ASD-BOOK-ddbade997b45

磁作用的矢量差额

电磁相互作用
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-006
ΔFm≡FT−F0=−β2F0\Delta\mathbf F_m\equiv\mathbf F_T-\mathbf F_0=-\beta^2\mathbf F_0

同号电荷修正向内，异号电荷修正向外；总作用大小都减小。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.5) · ASD-BOOK-ddbade997b45

SI 电磁归一化

电磁相互作用
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-007
ε0μ0=c−2,ΔFm=−μ0q1q2v24πr2r^\varepsilon_0\mu_0=c^{-2},\qquad\Delta\mathbf F_m=-\frac{\mu_0q_1q_2v^2}{4\pi r^2}\hat{\mathbf r}

乘积关系精确；现行 SI 中 ε₀ 与 μ₀ 各自的数值由实验确定。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.6) · ASD-BOOK-ddbade997b45

势能与真值物理力

电磁相互作用
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-008
UT=q1q24πε0rT,FT=−∂UT∂rTU_T=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r_T},\qquad F_T=-\frac{\partial U_T}{\partial r_T}

沿 r̂ 的带符号分量；固定共同速度。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.7) · ASD-BOOK-ddbade997b45

同一虚功的坐标配对

电磁相互作用
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-009
δW=FT drT=Fr dr,Fr=γFT=F0γ\delta W=F_T\,dr_T=F_r\,dr,\qquad F_r=\gamma F_T=\frac{F_0}{\gamma}

固定速度下 drT=γdr；实验读数须由动力学与计量映射确定。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.8) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-010
FESR=γF0,FmSR,red=γβ2F0,F⊥SR=F0γF_E^{\rm SR}=\gamma F_0,\quad F_m^{\rm SR,red}=\gamma\beta^2F_0,\quad F_\perp^{\rm SR}=\frac{F_0}{\gamma}

仅作标准理论比较；同号电荷大小，使用实验室量定义。不是 ASD 推导输入。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.9) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-011
FTF0=1−β2,F⊥SRF0=1−β22+O(β4),γβ2=β2+O(β4)\frac{F_T}{F_0}=1-\beta^2,\quad\frac{F_\perp^{\rm SR}}{F_0}=1-\frac{\beta^2}{2}+O(\beta^4),\quad\gamma\beta^2=\beta^2+O(\beta^4)

磁项低速主系数相同不等于总力相同；先统一可观测量。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.10)、(3.9) · ASD-BOOK-ddbade997b45

径向运动场候选

电磁相互作用
理论 · 候选模型
ASD-WEB-EM-012
Ecand(R,ϕ)=q4πε0R21−β2(1−βcos⁡ϕ)2R^\mathbf E_{\rm cand}(R,\phi)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0R^2}\frac{1-\beta^2}{(1-\beta\cos\phi)^2}\hat{\mathbf R}

附加参考径向场和普通球面面积元；不是完整闭合运动场。 网页运动夹角φ对应最终书稿该节ϕ，未改变物理定义。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.17) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-EM-013
Φcand=q4πε0RK(ϕ),−∇Φcand=q4πε0R2(R^K+K′K2ϕ^)\Phi_{\rm cand}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0RK(\phi)},\quad-\nabla\Phi_{\rm cand}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0R^2}\left(\frac{\hat{\mathbf R}}K+\frac{K^{\prime}}{K^2}\hat{\boldsymbol\phi}\right)

使用普通参考球坐标梯度；显示长度因子不能唯一选择场构成。 网页运动夹角φ对应最终书稿该节ϕ，未改变物理定义。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.18) · ASD-BOOK-ddbade997b45

候选径向场的总通量

电磁相互作用
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-014
2π∫−111−β2(1−βz)2 dz=4π,ε0∮Ecand⋅dS=q2\pi\int_{-1}^{1}\frac{1-\beta^2}{(1-\beta z)^2}\,dz=4\pi,\qquad\varepsilon_0\oint\mathbf E_{\rm cand}\cdot d\mathbf S=q

总通量只检验电荷归一化，不闭合局域源方程与探测响应。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.19) · ASD-BOOK-ddbade997b45

静态剪切扭转势

电磁相互作用
理论 · 理论起点
ASD-WEB-EM-015
Φτ=q4πε0r,Estatic=−∇Φτ=q4πε0r2r^\Phi_\tau=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r},\qquad\mathbf E_{\rm static}=-\nabla\Phi_\tau=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat{\mathbf r}

核外、静态、均匀基态；势的电磁量值归一化另行给定。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.11) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-EM-016
E=−∇Φτ−∂tAτ,B=∇×Aτ\mathbf E=-\nabla\Phi_\tau-\partial_t\mathbf A_\tau,\qquad\mathbf B=\nabla\times\mathbf A_\tau

连续有效场定义；在理论顺序上位于 LVE 磁力推导之后。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.12) · ASD-BOOK-ddbade997b45

势的规范自由度

电磁相互作用
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-017
Aτ↦Aτ+∇χ,Φτ↦Φτ−∂tχ\mathbf A_\tau\mapsto\mathbf A_\tau+\nabla\chi,\qquad\Phi_\tau\mapsto\Phi_\tau-\partial_t\chi

光滑函数与相容边界；E、B 不变，任意规范的 A 不能唯一等同于物理位移。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.13) · ASD-BOOK-ddbade997b45

低速源的准静态矢势

电磁相互作用
理论 · 有效模型
ASD-WEB-EM-018
Aτ≃Φstaticc2u=μ0q4πru\mathbf A_\tau\simeq\frac{\Phi_{\rm static}}{c^2}\mathbf u=\frac{\mu_0q}{4\pi r}\mathbf u

低速、近区、准静态最低阶源表示；u 为源速度。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.15) · ASD-BOOK-ddbade997b45

准静态横向源响应

电磁相互作用
理论 · 有效模型
ASD-WEB-EM-019
B≃1c2∇Φstatic×u=1c2u×Estatic\mathbf B\simeq\frac1{c^2}\nabla\Phi_{\rm static}\times\mathbf u=\frac1{c^2}\mathbf u\times\mathbf E_{\rm static}

空间求导时 u 为常量；不是全速度一般运动电荷场。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.16) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-020
L0=p⋅v−Ef=−m0c2γ,∂L0∂vi=m0γviL_0=\mathbf p\cdot\mathbf v-E_f=-\frac{m_0c^2}{\gamma},\quad\frac{\partial L_0}{\partial v_i}=m_0\gamma v_i

采用第二章同一组物理变量和 dEf=v·dp；不从相对论作用量倒推。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.20a)、(3.20c) · ASD-BOOK-ddbade997b45

所选耦合的变分受力

电磁相互作用
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-022
p˙i=q[−∂iΦτ−∂tAi+vj(∂iAj−∂jAi)],p˙=q(E+v×B)\dot p_i=q[-\partial_i\Phi_\tau-\partial_t A_i+v_j(\partial_i A_j-\partial_j A_i)],\quad\dot{\mathbf p}=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)

给定最小耦合后成立；不用于反向证明 LVE 磁力起源。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.21)、(3.23) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-EM-023
Fm≃qc2[u(v⋅Estatic)−Estatic(v⋅u)]\mathbf F_m\simeq\frac q{c^2}[\mathbf u(\mathbf v\cdot\mathbf E_{\rm static})-\mathbf E_{\rm static}(\mathbf v\cdot\mathbf u)]

u 为源速度、v 为探针速度；共同横向构型仅检验磁项 O(β²) 对应。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.24) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-024
dEfdt=qv⋅E,v⋅(v×B)=0\frac{dE_f}{dt}=q\mathbf v\cdot\mathbf E,\qquad\mathbf v\cdot(\mathbf v\times\mathbf B)=0

同一有效耦合下的能量交换；辐射及外源另计。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.25) · ASD-BOOK-ddbade997b45

多组分电荷与电流

电磁相互作用
理论 · 有效模型
ASD-WEB-EM-025
ρe=∑aρa,J=∑aρaua\rho_e=\sum_a\rho_a,\qquad\mathbf J=\sum_a\rho_a\mathbf u_a

电中性不等于电流为零；正负源及交叉相互作用必须保留。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.26) · ASD-BOOK-ddbade997b45

稳恒电流的矢势

电磁相互作用
理论 · 有效模型
ASD-WEB-EM-026
Aτ(r)=μ04π∫J(r′)∣r−r′∣ d3r′,∇⋅Aτ=0\mathbf A_\tau(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\,d^3r',\quad\nabla\cdot\mathbf A_\tau=0

局域、稳恒无散电流与衰减边界；线性静态有效核。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.27) · ASD-BOOK-ddbade997b45

连续电流的旋度场

电磁相互作用
理论 · 有效模型
ASD-WEB-EM-027
B(r)=μ04π∫J(r′)×RR3 d3r′,R=r−r′\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf J(\mathbf r')\times\mathbf R}{R^3}\,d^3r',\quad\mathbf R=\mathbf r-\mathbf r'

从有效电流势取旋度得出；未由同速两电荷律单独证明导线微观总力。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.28)、(3.29) · ASD-BOOK-ddbade997b45

平行导线的有效力

电磁相互作用
理论 · 有效模型
ASD-WEB-EM-028
B1(d)=μ0I12πd,FL=μ0I1I22πdB_1(d)=\frac{\mu_0I_1}{2\pi d},\qquad\frac FL=\frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi d}

长直、稳恒宏观导线，忽略端部；同向吸引、反向排斥。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.30)、(3.31) · ASD-BOOK-ddbade997b45

势表示的几何恒等式

电磁相互作用
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-029
∇⋅B=0,∇×E=−∂tB\nabla\cdot\mathbf B=0,\qquad\nabla\times\mathbf E=-\partial_t\mathbf B

光滑无磁荷扇区的恒等式；传播速度仍须动力学给定。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.14)、(3.34)、(3.35) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-EM-030
∂tρe+∇⋅J=0,∇⋅E=ρe/ε0 ⇒ ∇⋅(J+ε0∂tE)=0\partial_t\rho_e+\nabla\cdot\mathbf J=0,\quad\nabla\cdot\mathbf E=\rho_e/\varepsilon_0\ \Rightarrow\ \nabla\cdot(\mathbf J+\varepsilon_0\partial_t\mathbf E)=0

常 ε₀；散度约束允许额外无散项，不能唯一推出完整场方程。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.37)、(3.38) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-EM-031
LT(2)=ρs2∣∂tuT∣2−KT2∣∇×uT∣2,∇⋅uT=0\mathcal L_T^{(2)}=\frac{\rho_s}{2}|\partial_t\mathbf u_T|^2-\frac{K_T}{2}|\nabla\times\mathbf u_T|^2,\quad\nabla\cdot\mathbf u_T=0

均匀基态、长波、弱扰动；ρs>0、KT>0 与边界条件为输入。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.44) · ASD-BOOK-ddbade997b45

横向空间波动方程

电磁相互作用
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-032
ρs∂t2uT+KT∇×(∇×uT)=0,∂t2uT−KTρs∇2uT=0\rho_s\partial_t^2\mathbf u_T+K_T\nabla\times(\nabla\times\mathbf u_T)=0,\quad\partial_t^2\mathbf u_T-\frac{K_T}{\rho_s}\nabla^2\mathbf u_T=0

由横向变分与 curl curl 恒等式得到；系数为常量。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.45) · ASD-BOOK-ddbade997b45

空间状态到电磁变量

电磁相互作用
理论 · 有效模型
ASD-WEB-EM-033
AT=NTuT,ΩT=∇×uT,B=NTΩT,ET=−NT∂tuT\mathbf A_T=N_T\mathbf u_T,\quad\boldsymbol\Omega_T=\nabla\times\mathbf u_T,\quad\mathbf B=N_T\boldsymbol\Omega_T,\quad\mathbf E_T=-N_T\partial_t\mathbf u_T

给定规范与边界的无源横向扇区；ΩT 无量纲，不是时间角速度或拓扑数。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.46) · ASD-BOOK-ddbade997b45

系数匹配与传播速度

电磁相互作用
理论 · 有效模型
ASD-WEB-EM-034
ρs=ε0NT2,KT=NT2μ0,cT2=KTρs=1ε0μ0=c2\rho_s=\varepsilon_0N_T^2,\quad K_T=\frac{N_T^2}{\mu_0},\quad c_T^2=\frac{K_T}{\rho_s}=\frac1{\varepsilon_0\mu_0}=c^2

系数匹配为条件；并未由 LVE 单独算出微观常数。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.47) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-035
∇⋅ET=∇⋅B=0,∇×ET=−∂tB,∇×B=c−2∂tET\nabla\cdot\mathbf E_T=\nabla\cdot\mathbf B=0,\quad\nabla\times\mathbf E_T=-\partial_t\mathbf B,\quad\nabla\times\mathbf B=c^{-2}\partial_t\mathbf E_T

在给定横向作用量、归一化和系数匹配下严格导出；有源推广独立记录。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.47a) · ASD-BOOK-ddbade997b45

横波能量与能流

电磁相互作用
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-036
uem=ε0E22+B22μ0,S=1μ0E×B,∂tuem+∇⋅S=−J⋅Eu_{\rm em}=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0},\quad\mathbf S=\frac1{\mu_0}\mathbf E\times\mathbf B,\quad\partial_tu_{\rm em}+\nabla\cdot\mathbf S=-\mathbf J\cdot\mathbf E

自由区 J=0；带源交换式使用同一有效耦合。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.48) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-037
ω2=c2k2,k⋅E=k⋅B=0,B=1ck^×E\omega^2=c^2k^2,\quad\mathbf k\cdot\mathbf E=\mathbf k\cdot\mathbf B=0,\quad\mathbf B=\frac1c\hat{\mathbf k}\times\mathbf E

均匀各向同性无色散自由扇区；物质 γ 不应用于自由光子的速度 c。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.54)、(3.56) · ASD-BOOK-ddbade997b45

宏观有效源作用量

电磁相互作用
理论 · 有效模型
ASD-WEB-EM-038
Lem=ε02∣E∣2−12μ0∣B∣2−ρeΦτ+J⋅Aτ\mathcal L_{\rm em}=\frac{\varepsilon_0}{2}|\mathbf E|^2-\frac1{2\mu_0}|\mathbf B|^2-\rho_e\Phi_\tau+\mathbf J\cdot\mathbf A_\tau

自由部分有横向实现；源耦合仍是宏观、低速有效选择。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.39) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-EM-039
∇⋅E=ρeε0,∇×B=μ0J+c−2∂tE\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho_e}{\varepsilon_0},\quad\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J+c^{-2}\partial_t\mathbf E

给定有效作用量后变分得到；并不闭合高速拓扑电荷的一般源。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.40)、(3.42) · ASD-BOOK-ddbade997b45

有效源的推迟响应

电磁相互作用
理论 · 有效模型
ASD-WEB-EM-040
Φτ=14πε0∫ρe(r′,t−R/c)R d3r′,Aτ=μ04π∫J(r′,t−R/c)R d3r′\Phi_\tau=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho_e(\mathbf r',t-R/c)}R\,d^3r',\quad\mathbf A_\tau=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf J(\mathbf r',t-R/c)}R\,d^3r'

Lorenz 规范、局域守恒源、无入射自由场；继承低速有效源范围。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.51)、(3.53) · ASD-BOOK-ddbade997b45

纵横非线性耦合候选

电磁相互作用
理论 · 候选模型
ASD-WEB-EM-041
η=−∇⋅uL,ΩT=∇×uT,LLT=−gLTη∣ΩT∣2\eta=-\nabla\cdot\mathbf u_L,\quad\boldsymbol\Omega_T=\nabla\times\mathbf u_T,\quad\mathcal L_{LT}=-g_{LT}\eta|\boldsymbol\Omega_T|^2

最低阶旋转标量候选；不由 FCC 或 LVE 唯一推出。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.74)、(3.75) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-EM-042
fLnl=−gLT∇∣ΩT∣2,fTnl=−2gLT∇×(ηΩT)\mathbf f_L^{\rm nl}=-g_{LT}\nabla|\boldsymbol\Omega_T|^2,\quad\mathbf f_T^{\rm nl}=-2g_{LT}\nabla\times(\eta\boldsymbol\Omega_T)

广义力密度，单位 N/m³；不是电流密度。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.76) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-EM-043
KL2η2+gLTη∣ΩT∣2+λT4∣ΩT∣4=KL2(η+gLTKL∣ΩT∣2)2+(λT4−gLT22KL)∣ΩT∣4\frac{K_L}{2}\eta^2+g_{LT}\eta|\boldsymbol\Omega_T|^2+\frac{\lambda_T}{4}|\boldsymbol\Omega_T|^4=\frac{K_L}{2}\left(\eta+\frac{g_{LT}}{K_L}|\boldsymbol\Omega_T|^2\right)^2+\left(\frac{\lambda_T}{4}-\frac{g_{LT}^2}{2K_L}\right)|\boldsymbol\Omega_T|^4

K_L>0且λ_T≥2g_LT²/K_L使此局部能量有下界。固定横向强度时η_eq=−g_LT|Ω_T|²/K_L；g_LT>0给出膨胀。此结果不是完整稳定局域粒子解。
书稿来源：最终合订稿 · 第三章式 (3.77) · ASD-BOOK-ddbade997b45

纵横分解

空间动力学
理论 · 理论起点
ASD-WEB-SD-001
u=uL+uT,∇×uL=0,∇⋅uT=0\mathbf u=\mathbf u_L+\mathbf u_T,\quad\nabla\times\mathbf u_L=0,\quad\nabla\cdot\mathbf u_T=0

全空间衰减场或相容边界；调和分量另行指定。
书稿来源：Ch. 4 (4.5) · ASD-BOOK-ddbade997b45

傅里叶投影

空间动力学
理论 · 理论起点
ASD-WEB-SD-002
PL,ij=kikjk2,PT,ij=δij−PL,ij,k≠0P_{L,ij}=\frac{k_ik_j}{k^2},\quad P_{T,ij}=\delta_{ij}-P_{L,ij},\quad\mathbf k\ne0

零模不由本式决定。
书稿来源：Ch. 5 (5.1.8) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 理论起点
ASD-WEB-SD-003
s=∇⋅u,σ=−∇⋅uL=−s,ns−ns,0ns,0=σ+O(∣∇u∣2)s=\nabla\cdot\mathbf u,\quad\sigma=-\nabla\cdot\mathbf u_L=-s,\quad\frac{n_s-n_{s,0}}{n_{s,0}}=\sigma+O(|\nabla\mathbf u|^2)

第四章 η 对应此处 σ；不同于惯性系数 ρs。
书稿来源：Ch. 4 (4.14); Ch. 5 (5.4.5) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 理论起点
ASD-WEB-SD-004
ΩT=∇×uT,ω=12ΩT,eijdev=12(∂iuj+∂jui)−13δij∇⋅u\boldsymbol\Omega_T=\nabla\times\mathbf u_T,\quad\boldsymbol\omega=\tfrac12\boldsymbol\Omega_T,\quad e^{\rm dev}_{ij}=\tfrac12(\partial_i u_j+\partial_j u_i)-\tfrac13\delta_{ij}\nabla\cdot\mathbf u

旋度不是全部对称剪切应变；独立非线性取向需另定义。
书稿来源：Ch. 5 (5.4.19), (5.6.1)–(5.6.2), (5.6.22); kinematic expansion · ASD-BOOK-ddbade997b45

连续二次作用量

空间动力学
理论 · 有效模型
ASD-WEB-SD-005
L2=12ρs∣∂tu∣2−12KL(∇⋅u)2−12KT∣∇×u∣2\mathcal L_2=\tfrac12\rho_s|\partial_t\mathbf u|^2-\tfrac12K_L(\nabla\cdot\mathbf u)^2-\tfrac12K_T|\nabla\times\mathbf u|^2

均匀、小振幅、常系数且 ρs,KL,KT>0。
书稿来源：Ch. 4 (4.6) · ASD-BOOK-ddbade997b45

状态场变分方程

空间动力学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-SD-006
ρs∂t2u=KL∇(∇⋅u)−KT∇×(∇×u)\rho_s\partial_t^2\mathbf u=K_L\nabla(\nabla\cdot\mathbf u)-K_T\nabla\times(\nabla\times\mathbf u)

边界变分为零或由相容条件消去。
书稿来源：Ch. 4 (4.7) · ASD-BOOK-ddbade997b45

纵横传播与速度

空间动力学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-SD-007
(∂t2−cA2∇2)uA=0,cL2=KL/ρs,cT2=KT/ρs,A=L,T(\partial_t^2-c_A^2\nabla^2)\mathbf u_A=0,\quad c_L^2=K_L/\rho_s,\quad c_T^2=K_T/\rho_s,\quad A=L,T

完整常系数方程的投影结果。
书稿来源：Ch. 4 (4.8) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-SD-008
KLeff=KTeff=ρsc2⟹cL=cT=cK_L^{\rm eff}=K_T^{\rm eff}=\rho_sc^2\quad\Longrightarrow\quad c_L=c_T=c

ASD 均匀无物质基态的有效本构匹配；共同速度由系数比得到，非零序参量反馈后须重新匹配完整谱。
书稿来源：Ch. 4 (4.9); Ch. 5 (5.1.9) · ASD-BOOK-ddbade997b45

自由场非负能量

空间动力学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-SD-009
E2=12ρs∣∂tu∣2+12KL(∇⋅u)2+12KT∣∇×u∣2≥0\mathcal E_2=\tfrac12\rho_s|\partial_t\mathbf u|^2+\tfrac12K_L(\nabla\cdot\mathbf u)^2+\tfrac12K_T|\nabla\times\mathbf u|^2\ge0

正系数保证非负二次能；零模与边界仍需指定。
书稿来源：Ch. 4 (4.10) · ASD-BOOK-ddbade997b45

约束通道作用量

空间动力学
理论 · 有效模型
ASD-WEB-SD-010
L0=∑A=L,T[12ZA∣∂tuA∣2−12ZAcA2∣∇uA∣2+JA⋅uA]\mathcal L_0=\sum_{A=L,T}\left[\tfrac12 Z_A|\partial_t\mathbf u_A|^2-\tfrac12Z_Ac_A^2|\nabla\mathbf u_A|^2+\mathbf J_A\cdot\mathbf u_A\right]

ZA>0；保留投影约束。与第四章相同归一化时 ZA=ρs。
书稿来源：Ch. 5 (5.4.1) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-SD-011
ωA2=cA2k2,k×UL=0,k⋅UT=0\omega_A^2=c_A^2k^2,\quad\mathbf k\times\mathbf U_L=0,\quad\mathbf k\cdot\mathbf U_T=0

几何偏振分类不自动指定粒子种类。
书稿来源：Ch. 5 (5.4.2) · ASD-BOOK-ddbade997b45

能流与功平衡

空间动力学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-SD-012
EA=12ZA(∣∂tuA∣2+c2∣∇uA∣2),SA,i=−ZAc2∂tuA,a∂iuA,a,∂tEA+∇⋅SA=JA⋅∂tuA.\begin{aligned}\mathcal E_A&=\tfrac12Z_A(|\partial_t\mathbf u_A|^2+c^2|\nabla\mathbf u_A|^2),\\S_{A,i}&=-Z_Ac^2\partial_tu_{A,a}\partial_i u_{A,a},\\\partial_t\mathcal E_A+\nabla\cdot\mathbf S_A&=\mathbf J_A\cdot\partial_t\mathbf u_A.\end{aligned}

分量指标求和，cA=c；无源守恒不排除几何扩散。
书稿来源：Ch. 5 (5.4.3)–(5.4.4) · ASD-BOOK-ddbade997b45

密度波方程与源

空间动力学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-SD-013
(∂t2−c2∇2)σ=sσ,sσ=−ZL−1∇⋅JL(\partial_t^2-c^2\nabla^2)\sigma=s_\sigma,\quad s_\sigma=-Z_L^{-1}\nabla\cdot\mathbf J_L

取位移方程的负散度；源不等于任意指定的质量密度。
书稿来源：Ch. 5 (5.4.6) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-SD-014
uL(k)=ikk2σ,EL=ZL2∫d3k(2π)3[∣∂tσ∣2k2+c2∣σ∣2]\mathbf u_L(\mathbf k)=\frac{i\mathbf k}{k^2}\sigma,\quad E_L=\frac{Z_L}{2}\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\left[\frac{|\partial_t\sigma|^2}{k^2}+c^2|\sigma|^2\right]

k≠0；实空间动能含逆拉普拉斯。
书稿来源：Ch. 5 (5.4.8)–(5.4.10) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-SD-015
AT=NTuT,ET=−∂tAT,Bem=∇×AT\mathbf A_T=N_T\mathbf u_T,\quad\mathbf E_T=-\partial_t\mathbf A_T,\quad\mathbf B_{\rm em}=\nabla\times\mathbf A_T

无源辐射区、规定规范与归一化；有源时另需标势与源耦合。
书稿来源：Ch. 5 §4.3, (5.4.11) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-SD-017
JLnl=−gLT∇∣ΩT∣2,JTnl=−2gLT∇×(σΩT)\mathbf J_L^{\rm nl}=-g_{LT}\nabla|\boldsymbol\Omega_T|^2,\quad\mathbf J_T^{\rm nl}=-2g_{LT}\nabla\times(\sigma\boldsymbol\Omega_T)

J是广义力密度，不是电流；变分限该候选。
书稿来源：Ch. 5 (5.4.20) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-SD-018
12Ksσ2+gLTσ∣ΩT∣2+14λT∣ΩT∣4=12Ks(σ+gLTKs∣ΩT∣2)2+(λT4−gLT22Ks)∣ΩT∣4.\begin{aligned}\tfrac12K_s\sigma^2+g_{LT}\sigma|\boldsymbol\Omega_T|^2+\tfrac14\lambda_T|\boldsymbol\Omega_T|^4&=\tfrac12K_s(\sigma+\tfrac{g_{LT}}{K_s}|\boldsymbol\Omega_T|^2)^2\\&\quad+(\tfrac{\lambda_T}{4}-\tfrac{g_{LT}^2}{2K_s})|\boldsymbol\Omega_T|^4.\end{aligned}

Ks>0，λT≥2gLT²/Ks足以局部有界；不是完整稳定性。
书稿来源：Ch. 5 (5.4.21) · ASD-BOOK-ddbade997b45

非均匀连续主部

空间动力学
理论 · 有效模型
ASD-WEB-SD-019
∂t(Z∂tq)−∂i(Kij∂jq)=J,Kij=Kji\partial_t(Z\partial_tq)-\partial_i(K_{ij}\partial_jq)=J,\quad K_{ij}=K_{ji}

选定标量／通道模型的散度形式；多分量需完整本构张量。
书稿来源：Ch. 5 (5.1.10) and following text · ASD-BOOK-ddbade997b45

FCC 近邻几何矩

空间动力学
理论 · 候选模型
ASD-WEB-SD-020
dn∈a02{(±1,±1,0),(±1,0,±1),(0,±1,±1)},∑ndn,idn,j=2a02δij\mathbf d_n\in\tfrac{a_0}{2}\{(\pm1,\pm1,0),(\pm1,0,\pm1),(0,\pm1,\pm1)\},\quad\sum_nd_{n,i}d_{n,j}=2a_0^2\delta_{ij}

十二近邻，各组四个符号组合；几何结果。
书稿来源：Ch. 4 (4.3)–(4.4); Ch. 5 (5.1.3)–(5.1.4) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-SD-021
ω2=4Γ0[3−cos⁡a0kx2cos⁡a0ky2−cos⁡a0kx2cos⁡a0kz2−cos⁡a0ky2cos⁡a0kz2]\omega^2=4\Gamma_0\left[3-\cos\tfrac{a_0k_x}{2}\cos\tfrac{a_0k_y}{2}-\cos\tfrac{a_0k_x}{2}\cos\tfrac{a_0k_z}{2}-\cos\tfrac{a_0k_y}{2}\cos\tfrac{a_0k_z}{2}\right]

等连接标量/选定偏振通道，Γ₀>0、c²=Γ₀a₀²。采用(5.1.11)/(4.12)余弦全谱；(5.1.12)前半角系数印为2而等价系数应为4，差异已就地记录。
书稿来源：Ch. 4 (4.12)–(4.13); Ch. 5 (5.1.11); coefficient discrepancy preceding (5.1.12) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-SD-022
Ψ=χQ,Q∈SU(2),Q†Q=I,det⁡Q=1,χ2=12Tr⁡(Ψ†Ψ)\Psi=\chi Q,\quad Q\in SU(2),\quad Q^\dagger Q=I,\quad\det Q=1,\quad\chi^2=\tfrac12\operatorname{Tr}(\Psi^\dagger\Psi)

χ实幅度，Q紧致取向；不是已解粒子或规范场。
书稿来源：Ch. 4 (4.16) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-SD-023
LuΘ=12Zu∣∂tu∣2+12IΘ∑A(∂tΘA)2−E0+Jext⋅u,E0=12Ku(s2+∣w∣2)+12AΘ∑A∣∇ΘA∣2+W(Θ)+gLsF(Θ)+gTw⋅T+Estab+Enl,F=∑AΘA2−v02,s=∇⋅u,w=∇×u,Ku=Zucu2.\begin{aligned}\mathcal L_{u\Theta}&=\tfrac12Z_u|\partial_t\mathbf u|^2+\tfrac12I_\Theta\sum_A(\partial_t\Theta_A)^2-\mathcal E_0+\mathbf J_{\rm ext}\cdot\mathbf u,\\\mathcal E_0&=\tfrac12K_u(s^2+|\mathbf w|^2)+\tfrac12A_\Theta\sum_A|\nabla\Theta_A|^2+W(\Theta)\\&\quad+g_LsF(\Theta)+g_T\mathbf w\cdot\mathbf T+\mathcal E_{\rm stab}+\mathcal E_{\rm nl},\\F&=\sum_A\Theta_A^2-v_0^2,\quad s=\nabla\cdot\mathbf u,\quad\mathbf w=\nabla\times\mathbf u,\quad K_u=Z_uc_u^2.\end{aligned}

已给出的局部双场作用量；Θ实分量，W扣真空。稳定项、本构参数及目标空间需具体选择；完整微观统一仍待联合求解。
书稿来源：Ch. 5 (5.6.3)–(5.6.5) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-SD-024
Zu(∂t2−cu2∇2)u=gL∇F−gT∇×T+Jadd+JextZ_u(\partial_t^2-c_u^2\nabla^2)\mathbf u=g_L\nabla F-g_T\nabla\times\mathbf T+\mathbf J_{\rm add}+\mathbf J_{\rm ext}

Jadd=−δEadd/δu；源与反作用来自同一泛函。
书稿来源：Ch. 5 (5.6.8) · ASD-BOOK-ddbade997b45

序参量反馈方程

空间动力学
理论 · 候选模型
ASD-WEB-SD-025
IΘ∂t2ΘA−AΘ∇2ΘA+∂W∂ΘA+2gLsΘA+gT[∂C∂ΘA−∂i∂C∂(∂iΘA)]+δEaddδΘA=0,C=w⋅T.\begin{aligned}I_\Theta\partial_t^2\Theta_A-A_\Theta\nabla^2\Theta_A+\frac{\partial W}{\partial\Theta_A}+2g_Ls\Theta_A&+g_T\left[\frac{\partial\mathcal C}{\partial\Theta_A}-\partial_i\frac{\partial\mathcal C}{\partial(\partial_i\Theta_A)}\right]+\frac{\delta E_{\rm add}}{\delta\Theta_A}=0,\\\mathcal C&=\mathbf w\cdot\mathbf T.\end{aligned}

保持反演时T须为轴矢量；内部对称性须指定。
书稿来源：Ch. 5 (5.6.9) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-SD-026
(cu2k2−ω2)(ΩΘ2+cΘ2k2−ω2)−λ2k2ZuIΘ=0,λ=2gLv0(c_u^2k^2-\omega^2)(\Omega_\Theta^2+c_\Theta^2k^2-\omega^2)-\frac{\lambda^2k^2}{Z_uI_\Theta}=0,\quad\lambda=2g_Lv_0

ΩΘ²>0；完整线性化谱决定分支。
书稿来源：Ch. 5 (5.6.12) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-SD-027
cL,eff2=cu2−λ2ZuIΘΩΘ2,cT,eff2=cu2c_{L,\rm eff}^2=c_u^2-\frac{\lambda^2}{Z_uI_\Theta\Omega_\Theta^2},\quad c_{T,\rm eff}^2=c_u^2

限该候选的低波数无隙支；裸同速不保证有效同速。
书稿来源：Ch. 5 (5.6.13) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-SD-028
∇2(Kus+gLF)=0⟹s=−gLKuF,σ=gLKuF\nabla^2(K_us+g_LF)=0\quad\Longrightarrow\quad s=-\frac{g_L}{K_u}F,\quad\sigma=\frac{g_L}{K_u}F

全空间光滑、局域源，无奇异调和项，无穷远零边界。
书稿来源：Ch. 5 (5.6.14)–(5.6.15) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-SD-029
Lφ=12Zφ[(∂tφ)2−c2∣∇φ∣2]+φJg[Θ,∇Θ]\mathcal L_\varphi=\tfrac12Z_\varphi[(\partial_t\varphi)^2-c^2|\nabla\varphi|^2]+\varphi\mathcal J_g[\Theta,\nabla\Theta]

不同于位移散度的能量核；共同保留需约束或尺度分离。
书稿来源：Ch. 5 (5.6.16) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-SD-030
Zφ(∂t2−c2∇2)φ=Jg,φ(r)=14πZφc2∫Jg(r′)∣r−r′∣ d3r′Z_\varphi(\partial_t^2-c^2\nabla^2)\varphi=\mathcal J_g,\quad\varphi(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi Z_\varphi c^2}\int\frac{\mathcal J_g(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\,d^3r'

无量纲varphi；右式为局域源与无穷远零边界下的静态Green积分。球对称紧支撑源有精确核外1/r，只有可积尾部时为远场渐近；源及反作用由物质模型确定。
书稿来源：Ch. 5 (5.6.17) · ASD-BOOK-ddbade997b45

取向稳定项候选

空间动力学
理论 · 候选模型
ASD-WEB-SD-031
EQ=∫[A22∑i∥Li∥2+A44∑i<j∥[Li,Lj]∥2+W(Q,χ)]d3x,Li=Q−1∂iQE_Q=\int\left[\frac{A_2}{2}\sum_i\|L_i\|^2+\frac{A_4}{4}\sum_{i<j}\|[L_i,L_j]\|^2+W(Q,\chi)\right]d^3x,\quad L_i=Q^{-1}\partial_iQ

A2,A4>0，范数平方Tr(X†X)/2；存在性与完整稳定谱待求。
书稿来源：Ch. 4 (4.21) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-SD-032
Qλ(x)=Q(x/λ),E(λ)=λE2+λ−1E4+λ3EV,E2−E4+3EV=0(λ=1),E(R)=A2R+A4/R+A0R3,E′(R)=A2−A4/R2+3A0R2,R∗2=A22+12A0A4−A26A0(A0>0),=2A4A2+A22+12A0A4(A0≥0),R∗2=A4/A2(A0=0),E′′(R∗)=2A4R∗3+6A0R∗>0.\begin{aligned}Q_\lambda(\mathbf x)&=Q(\mathbf x/\lambda),\\E(\lambda)&=\lambda E_2+\lambda^{-1}E_4+\lambda^3E_V,\\E_2-E_4+3E_V&=0\quad(\lambda=1),\\E(R)&=A_2R+A_4/R+A_0R^3,\\E'(R)&=A_2-A_4/R^2+3A_0R^2,\\R_*^2&=\frac{\sqrt{A_2^2+12A_0A_4}-A_2}{6A_0}\quad(A_0>0),\\&=\frac{2A_4}{A_2+\sqrt{A_2^2+12A_0A_4}}\quad(A_0\ge0),\\R_*^2&=A_4/A_2\quad(A_0=0),\\E''(R_*)&=\frac{2A_4}{R_*^3}+6A_0R_*>0.\end{aligned}

保留第四章λ增大代表放大构型的约定；R为真实长度。A₂,A₄>0、A₀≥0；含6A₀分母的式子限A₀>0，有理式含A₀=0。A₂:J/m、A₄:J·m、A₀:J/m³。解析径向极小值不是完整三维解或全扰动稳定性。
书稿来源：Ch. 4 (4.20)–(4.22); Ch. 5 (5.6.23)–(5.6.25) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-SD-033
ME=E0/c2,Lcoll(2)=−E0+12MijX˙iX˙j,Mg=c2Glim⁡r→∞rφ(r)=∫Jg d3r4πGZφ,qg=−∂Etest∂φ∣φ=0,Mp=qg/c2,∫Jg d3r=E0, Mg=ME ⟹ Zφ=c24πG,ME=Mi=Mg=Mp(matching requirement).\begin{aligned}M_E&=E_0/c^2,\quad L_{\rm coll}^{(2)}=-E_0+\tfrac12M_{ij}\dot X_i\dot X_j,\\M_g&=\frac{c^2}{G}\lim_{r\to\infty}r\varphi(r)=\frac{\int\mathcal J_g\,d^3r}{4\pi GZ_\varphi},\\q_g&=-\left.\frac{\partial E_{\rm test}}{\partial\varphi}\right|_{\varphi=0},\quad M_p=q_g/c^2,\\\int\mathcal J_g\,d^3r=E_0,\ M_g=M_E&\ \Longrightarrow\ Z_\varphi=\frac{c^2}{4\pi G},\\M_E=M_i=M_g=M_p&\quad\text{(matching requirement).}\end{aligned}

四种质量由同一完整核心—场系统分别定义；相等与Zφ条件是源能量匹配要求，不凭共同本体自动证明。以观测G定系数属于有效归一化。
书稿来源：Ch. 5 (5.6.26)–(5.6.29) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-SD-034
nsns,0=1det⁡F,Fij=δij+∂jui,F=eφI ⟹ nsns,0=e−3φ,ns−ns,0ns,0=e−3φ−1=−3φ+O(φ2).\begin{aligned}\frac{n_s}{n_{s,0}}&=\frac{1}{\det F},\quad F_{ij}=\delta_{ij}+\partial_j u_i,\\F=e^\varphi I&\ \Longrightarrow\ \frac{n_s}{n_{s,0}}=e^{-3\varphi},\\\frac{n_s-n_{s,0}}{n_{s,0}}&=e^{-3\varphi}-1=-3\varphi+O(\varphi^2).\end{aligned}

有限形变用detF；sigma是小应变密度主部。后半限同一各向同性标架，sigma=-3varphi为线性匹配；不将一般各向异性、密度能量核和独立拉伸作用量混用。
书稿来源：Ch. 4 (4.14)–(4.15); Ch. 5 (5.4.5) and isotropic-frame discussion · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 理论起点
ASD-WEB-MAT-001
Φ(x)→Φ0 (∣x∣→∞),E[Φ]=∫R3(H[Φ]−H0) d3x<∞\Phi(\mathbf x)\to\Phi_0\ (|\mathbf x|\to\infty),\qquad E[\Phi]=\int_{\mathbb R^3}(\mathcal H[\Phi]-\mathcal H_0)\,d^3x<\infty

Φ表示全部参与场；趋于真空本身不保证积分收敛。
书稿来源：Ch. 4 §4.2, (4.18), (4.34); conditions collected for review · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-MAT-003
Q(∞)=Q∞,Q:Sspace3→SU(2)≃S3,π3(S3)=Z,π1(SU(2))=0Q(\infty)=Q_\infty,\quad Q:S^3_{\rm space}\to SU(2)\simeq S^3,\quad\pi_3(S^3)=\mathbb Z,\quad\pi_1(SU(2))=0

无穷远取向与方向无关；若幅度过零或改变目标空间，需要重做分类。
书稿来源：Ch. 4 (4.18), §4.2.1 · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-MAT-004
Bμ=ϵμνρσ24π2Tr⁡(LνLρLσ),Lμ=Q−1∂μQ,∂μBμ=0,NQ=∫B0 d3x∈ZB^\mu=\frac{\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}}{24\pi^2}\operatorname{Tr}(L_\nu L_\rho L_\sigma),\quad L_\mu=Q^{-1}\partial_\mu Q,\quad\partial_\mu B^\mu=0,\quad N_Q=\int B^0\,d^3x\in\mathbb Z

x⁰=ct、ε⁰¹²³=+1；按书稿固定目标空间取向。光滑Q与固定远边界下为恒等式。
书稿来源：Ch. 4 (4.25)–(4.26) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-MAT-005
Nem=NQ,ρem=eB0,jem=ec BtopN_{\rm em}=N_Q,\quad\rho_{\rm em}=eB^0,\quad\mathbf j_{\rm em}=ec\,\mathbf B_{\rm top}

最终书稿（4.27）选定的最简源识别：Nem=NQ是模型输入，e为单位电荷匹配，x0=ct使空间电流含c；Btop是拓扑流而非磁场。
书稿来源：Ch. 4 (4.27) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-MAT-006
∂tρem+∇⋅jem=0,Qem=eNem,ϵ0∮∂VE⋅dS=Qem(V)\partial_t\rho_{\rm em}+\nabla\cdot\mathbf j_{\rm em}=0,\qquad Q_{\rm em}=eN_{\rm em},\qquad\epsilon_0\oint_{\partial V}\mathbf E\cdot d\mathbf S=Q_{\rm em}(V)

前两式依赖候选识别；最后一式还需有效电磁源方程，不能由整数性单独推出。
书稿来源：Ch. 4 (4.28)–(4.29) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-MAT-007
Qλ(x)=Q(x/λ),E(λ)=λE2+λ3EV,E′(1)=E2+3EV>0Q_\lambda(\mathbf x)=Q(\mathbf x/\lambda),\quad E(\lambda)=\lambda E_2+\lambda^3E_V,\quad E'(1)=E_2+3E_V>0

限非平凡静态三维构型、E2>0、EV≥0、全空间固定真空边界。缩小λ可降低能量。
书稿来源：Ch. 4 (4.20) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-MAT-008
3EVλ∗4+E2λ∗2−E4=0,λ∗2=2E4E2+E22+12E4EV,EV=0:λ∗2=E4E2,E′′(λ∗)=2E4λ∗3+6EVλ∗>0\begin{aligned}3E_V\lambda_*^4+E_2\lambda_*^2-E_4&=0,\\ \lambda_*^2&=\frac{2E_4}{E_2+\sqrt{E_2^2+12E_4E_V}},\\ E_V=0:\quad\lambda_*^2&=\frac{E_4}{E_2},\\ E''(\lambda_*)&=\frac{2E_4}{\lambda_*^3}+6E_V\lambda_*>0\end{aligned}

E2,E4>0、EV≥0为同一参考形状的能量积分；Qλ(x)=Q(x/λ)，λ无量纲。给定尺度族的唯一正驻点与正曲率已有解析表达，不等同完整场解与非径向稳定性。
书稿来源：最终合订稿第四章式（4.22）及紧随的解析根与二阶导数（p1374–p1375） · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 理论起点
ASD-WEB-MAT-009
Erest=∫(H[Q,η,χ,φ]−Hvac) d3x,mE=Erest/c2E_{\rm rest}=\int(\mathcal H[Q,\eta,\chi,\varphi]-\mathcal H_{\rm vac})\,d^3x,\qquad m_E=E_{\rm rest}/c^2

包括核、伴随场与相互作用；mE是定义，不能替代对惯性与引力质量的计算。
书稿来源：Ch. 4 (4.34) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-MAT-010
Lcoll=−Erest+12MijX˙iX˙j+⋯ ,Mij=mIδij in an isotropic limitL_{\rm coll}=-E_{\rm rest}+\tfrac12M_{ij}\dot X_i\dot X_j+\cdots,\qquad M_{ij}=m_I\delta_{ij}\ \text{in an isotropic limit}

须把实际可平移构型代入同一作用量，并处理随速形变；各向同性是额外条件。
书稿来源：Ch. 4 (4.35); Ch. 5 (5.6.26) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-MAT-011
φ(r)∼GmGc2r,Φgext=−c2φext,Uext=mPΦgext,F=−mP∇Φgext\varphi(r)\sim\frac{Gm_G}{c^2r},\quad\Phi_g^{\rm ext}=-c^2\varphi^{\rm ext},\quad U_{\rm ext}=m_P\Phi_g^{\rm ext},\quad\mathbf F=-m_P\nabla\Phi_g^{\rm ext}

孤立源远场、弱外场、缓变背景；mP须由构型的外场响应求出。
书稿来源：Ch. 4 (4.36)–(4.38); Ch. 5 (5.6.28) and following text · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 开放问题
ASD-WEB-MAT-012
mE=mI=mG=mP=m\boxed{m_E=m_I=m_G=m_P=m}

最终书稿（4.36）的共同匹配要求：同一解、参数和归一化须独立给出四种质量并实现相等；等号不把未闭合的微观计算升级为已证明。
书稿来源：最终合订稿第四章式（4.36）及匹配说明；第五章式（5.6.29） · ASD-BOOK-ddbade997b45

旋转集体坐标

物质与拓扑
理论 · 候选模型
ASD-WEB-MAT-013
QR(x,t)=Q0(R−1(t)x),A∈SU(2),A↦R∈SO(3),Lrot=12ΛabΩaΩbQ_R(\mathbf x,t)=Q_0(R^{-1}(t)\mathbf x),\quad A\in SU(2),\quad A\mapsto R\in SO(3),\quad L_{\rm rot}=\tfrac12\Lambda_{ab}\Omega_a\Omega_b

先有稳定解Q0，再求转动惯量；A是空间旋转的提升，不可与内部Q直接等同。
书稿来源：Ch. 4 (4.30)–(4.31) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-MAT-014
ψ(−A)=−ψ(A)⟹j∈{12,32,…}\psi(-A)=-\psi(A)\quad\Longrightarrow\quad j\in\{\tfrac12,\tfrac32,\ldots\}

须证明完整构型空间的非平凡旋转环路并指定该量子化选择。并不独自选定j=1/2或证明交换统计。
书稿来源：Ch. 4 (4.32); conditional Finkelstein–Rubinstein construction · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-MAT-016
∮Cdθ=6π,Nint=3,Nem=+1,Qp=+e\oint_C d\theta=6\pi,\quad N_{\rm int}=3,\qquad N_{\rm em}=+1,\quad Q_p=+e

内部绕转与电磁次数分开；6π不唯一指定三叶结，不代表+3e。
书稿来源：Ch. 4 (4.24) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 研究假说
ASD-WEB-MAT-017
n=13(1,1,1)T,PA1=nnT,PE=I−PA1,Q^p=e(qEPE+qAPA1)\mathbf n=\tfrac1{\sqrt3}(1,1,1)^T,\quad P_{A_1}=\mathbf n\mathbf n^T,\quad P_E=I-P_{A_1},\quad\widehat Q_p=e(q_E P_E+q_A P_{A_1})

在内部三通道响应空间中给定A1⊕E分解；不是空间坐标投影或由FCC唯一推出。
书稿来源：Ch. 4 (4.40)–(4.41) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 研究假说
ASD-WEB-MAT-018
2qE+qA=1,qE−qA=1⏟additional inputs⟹spec⁡Q^p=e{23,23,−13}\underbrace{2q_E+q_A=1,\quad q_E-q_A=1}_{\rm additional\ inputs}\quad\Longrightarrow\quad\operatorname{spec}\widehat Q_p=e\{\tfrac23,\tfrac23,-\tfrac13\}

对称性不固定本征值；迹与物理电荷的对应也是匹配输入。本征通道不是三个几何花瓣。
书稿来源：Ch. 4 (4.42)–(4.43) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-MAT-019
Nemin=0,Neme−+Neme+=−1+1=0N_{\rm em}^{\rm in}=0,\quad N_{\rm em}^{e^-}+N_{\rm em}^{e^+}=-1+1=0

总数为零允许匹配中性终态，不保证路径、速率或任意中性粒子组合都是反粒子对。
书稿来源：Ch. 4 (4.71), (4.78) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-MAT-020
γ+Z→e−+e++Z,S=M2c4+2Mc2Eγ,Eγ,th=2mec2(1+me/M)\gamma+Z\to e^-+e^++Z,\quad\mathcal S=M^2c^4+2Mc^2E_\gamma,\quad E_{\gamma,\rm th}=2m_ec^2(1+m_e/M)

初始Z静止且末态基态质量仍为M；采用E²=m²c⁴+c²p²与Eγ=c|pγ|。阈值不计算产生率。
书稿来源：Ch. 4 (4.72)–(4.74) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-MAT-021
S=2E1E2(1−cos⁡ϑ)≥4me2c4\mathcal S=2E_1E_2(1-\cos\vartheta)\ge4m_e^2c^4

均匀背景、两个自由入射光子；正面对撞E1E2≥me²c⁴，同向不满足。
书稿来源：Ch. 4 (4.75)–(4.77) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-MAT-022
p1+p2=0,E1+E2=2mec2,Ei=c∣pi∣⟹E1=E2=mec2≃511 keV\mathbf p_1+\mathbf p_2=0,\quad E_1+E_2=2m_ec^2,\quad E_i=c|\mathbf p_i|\quad\Longrightarrow\quad E_1=E_2=m_ec^2\simeq511\,\mathrm{keV}

零总动量、可忽略相对动能及束缚能、无其他参与对象，且已选择两光子通道。
书稿来源：Ch. 4 (4.79)–(4.80) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 理论起点
ASD-WEB-MAT-023
Ein=Eout,γ+Eout,other+Erecoil+ΔEbackgroundE_{\rm in}=E_{{\rm out},\gamma}+E_{{\rm out},{\rm other}}+E_{\rm recoil}+\Delta E_{\rm background}

各项在同一系统边界下避免重复计算；不暗示存在必然的未探测纵向能量支路。
书稿来源：Ch. 4 (4.81) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-003
Q(r,t)=Q∗[r−X(t)]+η,[∂t2+H∗(t)]η=S,Str=(a⋅∇)Q∗−(v⋅∇)2Q∗\mathcal Q(\mathbf r,t)=\mathcal Q_*[\mathbf r-\mathbf X(t)]+\eta,\quad [\partial_t^2+\mathcal H_*(t)]\eta=S,\quad S_{\rm tr}=(\mathbf a\cdot\nabla)\mathcal Q_*-(\mathbf v\cdot\nabla)^2\mathcal Q_*

给定静态构型与动能归一化 Hessian 后的一阶扰动方程；完整非线性源的计算与该线性结果区分。
书稿来源：Ch. 5 (5.1.18)–(5.1.20) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-005
ωa2(k)=ω02+c2kiBijkj,ka0≪1\omega_a^2(\mathbf k)=\omega_0^2+c^2k_iB_{ij}k_j,\qquad ka_0\ll1

最终稿式5.1.22为选定二阶连续有隙通道内的色散等式；ka₀≪1限制其微观适用范围，高阶格点谱另行保留。B实对称正定。
书稿来源：Ch. 5 (5.1.22) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-006
ηa(r,t)=ηa,in(r,t)+∫t0t ⁣dt′ ⁣∫d3r′ Garet(r−r′,t−t′)Sa(r′,t′)\eta_a(\mathbf r,t)=\eta_{a,\mathrm{in}}(\mathbf r,t)+\int_{t_0}^{t}\!dt'\!\int d^3r'\,G_a^{\mathrm{ret}}(\mathbf r-\mathbf r',t-t')S_a(\mathbf r',t')

这是给定线性算子、初值与源后的解表示；耦合通道需矩阵 Green 函数。
书稿来源：Ch. 5 (5.1.23)–(5.1.24) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-007
ωa(k)=k⋅v+ωs,min⁡k[ω02+c2k2−k⋅v]=ω0/γ\omega_a(\mathbf k)=\mathbf k\cdot\mathbf v+\omega_s,\qquad\min_{\mathbf k}\left[\sqrt{\omega_0^2+c^2k^2}-\mathbf k\cdot\mathbf v\right]=\omega_0/\gamma

各向同性有隙支、v<c；ωs<ω₀/γ无交点，等号是临界相切，不统称严格亚阈值；出射通量仍需源投影。
书稿来源：Ch. 5 (5.1.28)–(5.1.29) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-008
E=γm0c2,P=γm0v,E2−c2P2=m02c4E=\gamma m_0c^2,\quad\mathbf P=\gamma m_0\mathbf v,\quad E^2-c^2P^2=m_0^2c^4

承接第二章完整着装物质的运动关系；最终稿随后用单激发作用量匹配与有隙相位连接。
书稿来源：Ch. 5 (5.2.12); upstream ASD dynamics input · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-009
E=Iω,P=Ik,I=matchingℏ ⟹ P=ℏk,λ=h/PE=\mathcal I\omega,\quad\mathbf P=\mathcal I\mathbf k,\qquad \mathcal I\stackrel{\rm matching}{=}\hbar\ \Longrightarrow\ \mathbf P=\hbar\mathbf k,\quad\lambda=h/P

最终书稿采用单激发 I=ℏ 和完整着装动量匹配，已得到 E=ℏω、P=ℏk、λ=h/P；微观锁定与普适归一化仍需完整运动解支持。
书稿来源：Ch. 5 §2.3, text following (5.2.13) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-010
Ekin=piBijpj2m0,pi=ℏki,vg,i=Bijpjm0;B=I: vg=c2kω=c2PE=vE_{\rm kin}=\frac{p_iB_{ij}p_j}{2m_0},\quad p_i=\hbar k_i,\quad v_{g,i}=\frac{B_{ij}p_j}{m_0};\qquad B=I:\ \mathbf v_g=\frac{c^2\mathbf k}{\omega}=\frac{c^2\mathbf P}{E}=\mathbf v

第一组为常B低速包络；完整各向同性有隙支采用 E=ℏω、P=ℏk 后得到 vg=c²P/E=v。动量依赖B需保留其导数。
书稿来源：Ch. 5 (5.2.14) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-011
[∂t2−c2∂i(Bij∂j)+ω02+2ω0ℏV]Φ(+)=S(+)\left[\partial_t^2-c^2\partial_i(B_{ij}\partial_j)+\omega_0^2+\frac{2\omega_0}{\hbar}V\right]\Phi^{(+)}=S^{(+)}

ω₀ 与场归一化取常数；V 是弱标量能量调制，B 实对称正定。不是已闭合的全 ASD 母方程。
书稿来源：Ch. 5 (5.1.30) · ASD-BOOK-ddbade997b45

载波与复包络

量子现象
理论 · 理论起点
ASD-WEB-QM-012
Φ(+)=Ψe−iω0t,S(+)=S0e−iω0t,Φreal=Re⁡(Ψe−iω0t)\Phi^{(+)}=\Psi e^{-i\omega_0t},\quad S^{(+)}=S_0e^{-i\omega_0t},\quad\Phi_{\rm real}=\operatorname{Re}(\Psi e^{-i\omega_0t})

本页采用静止载波 k₀=0；复数表示两个正交相位分量，并未定义事件概率。
书稿来源：Ch. 5 (5.1.31) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-QM-013
∂t2Ψ−2iω0∂tΨ−c2∂i(Bij∂jΨ)+2ω0ℏVΨ=S0\partial_t^2\Psi-2i\omega_0\partial_t\Psi-c^2\partial_i(B_{ij}\partial_j\Psi)+\frac{2\omega_0}{\hbar}V\Psi=S_0

在给定二阶通道内，代入载波并抵消静止项得到的恒等变换。
书稿来源：Ch. 5 (5.1.32)–(5.1.33) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-014
ℏω0=matchingm0c2;∣Ω∣ω0≪1,ckω0≪1,ka0≪1,∣V∣ℏω0≪1\hbar\omega_0\stackrel{\rm matching}{=}m_0c^2;\qquad\frac{|\Omega|}{\omega_0}\ll1,\quad\frac{ck}{\omega_0}\ll1,\quad ka_0\ll1,\quad\frac{|V|}{\hbar\omega_0}\ll1

Ω 为慢频率；对谱或范数判断，不在包络节点除以 Ψ。能量匹配是输入，不是代数输出。
书稿来源：Ch. 5 §1.6, (5.1.34) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-015
iℏ∂tΨ=−ℏ22m0∂i(Bij∂jΨ)+VΨ+SSch,SSch=−ℏ2ω0S0i\hbar\partial_t\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m_0}\partial_i(B_{ij}\partial_j\Psi)+V\Psi+S_{\rm Sch},\qquad S_{\rm Sch}=-\frac{\hbar}{2\omega_0}S_0

丢弃 Ψ 的二阶时间导数并使用匹配条件；B=I、无源时才成为常见标量形式。
书稿来源：Ch. 5 (5.1.35) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-QM-016
z=ck/ω0,Ωexact/ω0=1+z2−1=12z2−18z4+O(z6),ΩSVEA/ω0=12z2z=ck/\omega_0,\quad\Omega_{\rm exact}/\omega_0=\sqrt{1+z^2}-1=\tfrac12z^2-\tfrac18z^4+O(z^6),\quad\Omega_{\rm SVEA}/\omega_0=\tfrac12z^2

这是已给谱支的 Taylor 检查，不是新增的完整 ASD 高能预言。
书稿来源：Ch. 5 (5.1.22), (5.2.13); website Taylor expansion for B=I, V=0 · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-017
⟨EΦ⟩=ZΦ4[∣∂tΨ−iω0Ψ∣2+c2Bij∂iΨ∗∂jΨ+ω02∣Ψ∣2]≃ZΦω022∣Ψ∣2\langle\mathcal E_\Phi\rangle=\frac{Z_\Phi}{4}\left[|\partial_t\Psi-i\omega_0\Psi|^2+c^2B_{ij}\partial_i\Psi^*\partial_j\Psi+\omega_0^2|\Psi|^2\right]\simeq\frac{Z_\Phi\omega_0^2}{2}|\Psi|^2

无外势的二次场能，领先阶慢变平均；下阶包含交叉项，不可只补梯度项。此式不是 Born 规则。
书稿来源：Ch. 5 (5.1.36) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-QM-018
∂tn+∂iji=2ℏIm⁡(Ψ∗SSch),n=∣Ψ∣2,ji=ℏm0Im⁡(Ψ∗Bij∂jΨ)\partial_t n+\partial_i j_i=\frac2\hbar\operatorname{Im}(\Psi^*S_{\rm Sch}),\quad n=|\Psi|^2,\quad j_i=\frac\hbar{m_0}\operatorname{Im}(\Psi^*B_{ij}\partial_j\Psi)

V 实、B 实对称；无源且边界无净通量才守恒总范数。守恒权重未自动成为核心位置概率。
书稿来源：Ch. 5 (5.2.7)–(5.2.8) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-019
ψ(L,Y)=1iλL∫−∞∞T(y)ψin(y)exp⁡ ⁣[ik(Y−y)22L]dy,λ=2π/k\psi(L,Y)=\frac1{\sqrt{i\lambda L}}\int_{-\infty}^{\infty}T(y)\psi_{\rm in}(y)\exp\!\left[\frac{ik(Y-y)^2}{2L}\right]dy,\qquad\lambda=2\pi/k

B=I、近单能、薄孔径和傍轴近似；省略共同的纵向及时间相位。
书稿来源：Ch. 5 (5.3.1)–(5.3.3) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-020
I(ϕ)I0=sinc⁡2 ⁣(πasin⁡ϕλ)cos⁡2 ⁣(πdsin⁡ϕλ),ΔY≃λL/d,sinc⁡z=sin⁡z/z\frac{I(\phi)}{I_0}=\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{\pi a\sin\phi}{\lambda}\right)\cos^2\!\left(\frac{\pi d\sin\phi}{\lambda}\right),\quad\Delta Y\simeq\lambda L/d,\quad\operatorname{sinc}z=\sin z/z

a为缝宽、d为间距；均匀相干照明，D²/(λL)≪1。网页以φ代书稿观察角θ，波相位不改；近轴间距仍为近似。
书稿来源：Ch. 5 (5.3.4)–(5.3.6) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-021
ΔθV=−1ℏ∫[V1(t)−V2(t)]dt,∣Δθg∣=MPgAℏv\Delta\theta_V=-\frac1\hbar\int[V_1(t)-V_2(t)]dt,\qquad |\Delta\theta_g|=\frac{M_Pg\mathcal A}{\hbar v}

两路径主要速度相同；重力式限弱均匀场与指定路径面积。MP 为被动引力质量。
书稿来源：Ch. 5 (5.3.9)–(5.3.10) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 理论起点
ASD-WEB-QM-022
ψ~(k)=12π∫ψ(x)e−ikx dx,∫∣ψ∣2dx=∫∣ψ~∣2dk=1\widetilde\psi(k)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int\psi(x)e^{-ikx}\,dx,\quad\int|\psi|^2dx=\int|\widetilde\psi|^2dk=1

位置二阶矩与一阶弱导数平方可积；标准差依照这些数学权重定义。
书稿来源：Ch. 5 (5.3.23) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-QM-023
F=(x−⟨x⟩)ψ,G=(∂x−i⟨k⟩)ψ,2Re⁡⟨F,G⟩=−1,ΔxΔk≥12;p=ℏk ⟹ ΔxΔp≥ℏ/2F=(x-\langle x\rangle)\psi,\quad G=(\partial_x-i\langle k\rangle)\psi,\quad2\operatorname{Re}\langle F,G\rangle=-1,\quad\Delta x\Delta k\ge\tfrac12;\quad p=\hbar k\ \Longrightarrow\ \Delta x\Delta p\ge\hbar/2

使用分部积分、衰减边界、Cauchy–Schwarz 与 Parseval；最后一步依赖相位—动量匹配。
书稿来源：Ch. 5 (5.3.24)–(5.3.25) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 框架内推导
ASD-WEB-QM-024
ψ(x)=e−(x−x0)2/(4σx2)+ik0x(2πσx2)1/4,Δx=σx,Δk=1/(2σx)\psi(x)=\frac{e^{-(x-x_0)^2/(4\sigma_x^2)+ik_0x}}{(2\pi\sigma_x^2)^{1/4}},\quad\Delta x=\sigma_x,\quad\Delta k=1/(2\sigma_x)

σx>0；宽度为标准差，不能直接换成狭缝第一零点或半高宽。
书稿来源：Ch. 5 (5.3.26) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-025
MD(q¨D+2γDq˙D+ωD2qD)=gDΦreal+ξD,χD(ω)=1MD(ωD2−ω2−2iγDω)M_D(\ddot q_D+2\gamma_D\dot q_D+\omega_D^2q_D)=g_D\Phi_{\rm real}+\xi_D,\qquad\chi_D(\omega)=\frac1{M_D(\omega_D^2-\omega^2-2i\gamma_D\omega)}

采用 e⁻ⁱωᵗ 约定，γD>0；这是线性材料响应模型，不是普适测量公设。
书稿来源：Ch. 5 (5.3.17)–(5.3.18) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-026
P‾D=gD2ω02Im⁡χD(ω0)∣Ψ∣2,RD≃P‾D/εD\overline P_D=\frac{g_D^2\omega_0}{2}\operatorname{Im}\chi_D(\omega_0)|\Psi|^2,\qquad R_D\simeq\overline P_D/\varepsilon_D

第一式由近单色平均做功得到并扣除独立噪声；第二式另需固定每次吸收能量、无显著泄漏／死时间／饱和。
书稿来源：Ch. 5 (5.3.19) and following text · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-027
R(r,t)=ηD(r,t)∣Ψ∣2,RA=∫thicknessR dz,p(Y∣det)=∫TRA(Y,t)dt∫dA∫TRA(Y,t)dt\mathcal R(\mathbf r,t)=\eta_D(\mathbf r,t)|\Psi|^2,\quad\mathcal R_A=\int_{\rm thickness}\mathcal R\,dz,\quad p(Y\mid\mathrm{det})=\frac{\int_{\mathcal T}\mathcal R_A(Y,t)dt}{\int dA\int_{\mathcal T}\mathcal R_A(Y,t)dt}

非零总探测率；给定效率、吸收厚度和时间窗。若按法向流采样，jn=vn|Ψ|²，归一化平方模还需vn在比较位置相同或按协议消去。
书稿来源：Ch. 5 (5.3.20)–(5.3.21) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-028
R=η1∣Ψ∣2+η2∣Ψ∣4+∫KD(r,r′)∣Ψ(r′)∣2d3r′\mathcal R=\eta_1|\Psi|^2+\eta_2|\Psi|^4+\int K_D(\mathbf r,\mathbf r')|\Psi(\mathbf r')|^2d^3r'

式5.3.22定义所选局部四次项与非局域响应核模型；在其有效响应区保持事件率非负，不是任意装置的全强度定律。
书稿来源：Ch. 5 (5.3.22) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 候选模型
ASD-WEB-QM-029
Ψ=n eiS/ℏ,vi=Bij∂jSm0,∂tn+∂i(nvi)=0;X˙i=candidatevi(X,t)\Psi=\sqrt n\,e^{iS/\hbar},\quad v_i=\frac{B_{ij}\partial_jS}{m_0},\quad\partial_t n+\partial_i(nv_i)=0;\qquad\dot X_i\stackrel{\rm candidate}{=}v_i(\mathbf X,t)

前三项限无源包络、n>0；最后一项是额外核心—场识别。等变性只保持已给初态分布。
书稿来源：Ch. 5 (5.3.12)–(5.3.15) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-030
−ℏ22m0ψ′′+Vψ=Eψ,k=2m0E/ℏ,κ=2m0(V0−E)/ℏ,ψII=Aeκx+Be−κx-\frac{\hbar^2}{2m_0}\psi''+V\psi=E\psi,\quad k=\sqrt{2m_0E}/\hbar,\quad\kappa=\sqrt{2m_0(V_0-E)}/\hbar,\quad\psi_{\rm II}=Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}

0<E<V₀、同一质量、B=I、势垒宽 a；ψ 与 ψ′ 在有限阶跃连续。
书稿来源：Ch. 5 (5.3.28)–(5.3.31) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-031
T=[1+V02sinh⁡2(κa)4E(V0−E)]−1,z=e−2κa,D=V02(1−z)2+16E(V0−E)z,T=16E(V0−E)zD,Rrefl=V02(1−z)2D,T+Rrefl=1,jII=2ℏκm0Im⁡(AB∗)\begin{aligned}T&=\left[1+\frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]^{-1},\\ z&=e^{-2\kappa a},\quad D=V_0^2(1-z)^2+16E(V_0-E)z,\\ T&=\frac{16E(V_0-E)z}{D},\quad R_{\rm refl}=\frac{V_0^2(1-z)^2}{D},\quad T+R_{\rm refl}=1,\\ j_{\rm II}&=\frac{2\hbar\kappa}{m_0}\operatorname{Im}(AB^*)\end{aligned}

同参数两端、实势、0<E<V₀时的精确边值解。z,D为式5.3.34网页简写；Rrefl为反射率，非核心半径。单个实指数无净流，复叠加可承载恒定流。
书稿来源：Ch. 5 (5.3.32)–(5.3.35) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-032
E>V0: T=[1+V02sin⁡2(qa)4E(E−V0)]−1, q=2m0(E−V0)/ℏ;E=V0: T=[1+m0V0a22ℏ2]−1E>V_0:\ T=\left[1+\frac{V_0^2\sin^2(qa)}{4E(E-V_0)}\right]^{-1},\ q=\sqrt{2m_0(E-V_0)}/\hbar;\quad E=V_0:\ T=\left[1+\frac{m_0V_0a^2}{2\hbar^2}\right]^{-1}

qa=nπ 为势垒上方的完全透射；不可误标为双势垒准束缚共振。
书稿来源：Ch. 5 (5.3.36) and its threshold limit · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-QM-033
κ(x)=2m0[V(x)−E]ℏ2b(x),A(x)=C0b(x)κ(x),TWKB=Pexp⁡ ⁣[−2∫x1x2κ(x)dx]\kappa(x)=\sqrt{\frac{2m_0[V(x)-E]}{\hbar^2b(x)}},\quad A(x)=\frac{C_0}{\sqrt{b(x)\kappa(x)}},\quad T_{\rm WKB}=\mathcal P\exp\!\left[-2\int_{x_1}^{x_2}\kappa(x)dx\right]

TWKB定义首阶近似，非任意势垒精确T；C₀为积分常数。保持散度算子及界面ψ、bψ′连续；缓变条件|κ′|/κ²≪1、|b′|/(bκ)≪1，转折点另作连接。
书稿来源：Ch. 5 (5.3.37)–(5.3.39) · ASD-BOOK-ddbade997b45

全速度逆力响应

计量与运动学
理论 · 框架内推导
ASD-WEB-DYN-025
a=1m0γ[F−(v⋅F)vc2]=F∥m0γ3+F⊥m0γ\mathbf a=\frac1{m_0\gamma}\left[\mathbf F-\frac{(\mathbf v\cdot\mathbf F)\mathbf v}{c^2}\right]=\frac{\mathbf F_\parallel}{m_0\gamma^3}+\frac{\mathbf F_\perp}{m_0\gamma}

固定内部态、均匀背景、无净辐射的核心—伴随场整体；0≤v<c。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §三.3 (2.20) · ASD-BOOK-ddbade997b45

旋转源的环向伴随场

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-048
∇⋅urot=0,∇2urot=−4πζG0c2jm,urot(x)=ζG0c2∫jm(x′)∣x−x′∣ d3x′,urotdip=ζG02c2J×rr3,ωrot=ζG0J2c2r3.\begin{aligned}\nabla\cdot\mathbf u_{\rm rot}&=0,\quad\nabla^2\mathbf u_{\rm rot}=-\frac{4\pi\zeta G_0}{c^2}\mathbf j_m,\\\mathbf u_{\rm rot}(\mathbf x)&=\frac{\zeta G_0}{c^2}\int\frac{\mathbf j_m(\mathbf x')}{|\mathbf x-\mathbf x'|}\,d^3x',\\\mathbf u_{\rm rot}^{\rm dip}&=\frac{\zeta G_0}{2c^2}\frac{\mathbf J\times\mathbf r}{r^3},\quad\omega_{\rm rot}=\frac{\zeta G_0J}{2c^2r^3}.\end{aligned}

稳恒局域源、无整体平动、无穷远衰减及远场偶极近似；ζ=4是标定，不是微观独立预测。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §五.4 (2.72)—(2.77) · ASD-BOOK-ddbade997b45

理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-049
Krot=1−urot⋅k^/c1−urot2/c2,T[Γ]=1c∫Γdℓopt−1c2∫Γurot⋅dx,T−−T+=2c2∮Curot⋅dx=4ωrotACc2=2ζG0JACc4r3.\begin{aligned}K_{\rm rot}&=\frac{1-\mathbf u_{\rm rot}\cdot\hat{\mathbf k}/c}{\sqrt{1-u_{\rm rot}^2/c^2}},\\T[\Gamma]&=\frac1c\int_\Gamma d\ell_{\rm opt}-\frac1{c^2}\int_\Gamma\mathbf u_{\rm rot}\cdot d\mathbf x,\\T_- -T_+&=\frac2{c^2}\oint_C\mathbf u_{\rm rot}\cdot d\mathbf x=\frac{4\omega_{\rm rot}A_C}{c^2}=\frac{2\zeta G_0JA_C}{c^4r^3}.\end{aligned}

光程保留弱场旋转一阶；最后两个等号限与自转轴共轴、固定r与极角的圆环。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §五.5 (2.78)—(2.82) · ASD-BOOK-ddbade997b45

边界能量平衡与面积熵

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-050
c2dMdt=Pin−Pout,Ah=16πG02M2c4,Nh=Aha∗,W=g∗Nh,Sbdy=kBln⁡W=kBσhAh,σh=ln⁡g∗a∗.\begin{aligned}c^2\frac{dM}{dt}&=P_{\rm in}-P_{\rm out},\qquad A_h=\frac{16\pi G_0^2M^2}{c^4},\\N_h&=\frac{A_h}{a_*},\quad W=g_*^{N_h},\\S_{\rm bdy}&=k_B\ln W=k_B\sigma_hA_h,\qquad\sigma_h=\frac{\ln g_*}{a_*}.\end{aligned}

非旋转无电荷准静态序列，固定G₀；面积单元与可及态近似独立的计数模型。a_*、g_*及关联修正仍需微观确定。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §五.7 (2.84)—(2.87) · ASD-BOOK-ddbade997b45

边界温度与第一定律

引力与空间尺度
理论 · 有效模型
ASD-WEB-GRV-051
Tbdy=c632πkBσhG02M,dEbdy=Tbdy dSbdy,σh=c34G0ℏ ⟹ Tbdy=ℏc38πG0kBM,Cbdy=−Mc2Tbdy,dEbdy=Tbdy dS+ωbdy dJ+Vbdy dQ.\begin{aligned}T_{\rm bdy}&=\frac{c^6}{32\pi k_B\sigma_hG_0^2M},\qquad dE_{\rm bdy}=T_{\rm bdy}\,dS_{\rm bdy},\\\sigma_h=\frac{c^3}{4G_0\hbar}&\ \Longrightarrow\ T_{\rm bdy}=\frac{\hbar c^3}{8\pi G_0k_BM},\qquad C_{\rm bdy}=-\frac{Mc^2}{T_{\rm bdy}},\\dE_{\rm bdy}&=T_{\rm bdy}\,dS+\omega_{\rm bdy}\,dJ+\mathcal V_{\rm bdy}\,dQ.\end{aligned}

固定G₀、c、σ_h且E=Mc²；温度系数采用Bekenstein–Hawking参考归一化。末行要求可微E(S,J,Q)，不是已求得的旋转强场微观解。
书稿来源：最终合订稿 · 第二章 §五.8 (2.88)—(2.94) · ASD-BOOK-ddbade997b45