从机械动量到物质波相位

01运动物质怎样带上空间相位

粒子通过狭缝后形成的条纹，要求我们同时说明两件事：局域物质以怎样的动量运动，周围场又以怎样的相位传播。ASD 的出发点是运动的空间结构。伴随场由核心及其周围场的共同调整产生；物质波问题进一步追问，这个场的相位尺度为什么能够对应实验中测得的机械动量。

机械动量描述整个运动物质的平移状态。设静止质量为 $m_0$，核心的平移速度为 $\mathbf v$，$c$ 为特征传播速度，$\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}$。本页承接 ASD 上游动力学中由运动空间响应建立的能量与动量关系：

这里 $E$ 是总能量，$\mathbf P$ 是完整物质结构的机械动量，$P=|\mathbf P|$。这些关系给出了速度怎样进入能量和动量，但还没有规定伴随场的波数。取一段近似单色的场，其相位写成 $\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t$；$\mathbf k$ 指出空间相位变化的方向与快慢，$\omega$ 是角频率，沿传播方向的波长为 $\lambda=2\pi/|\mathbf k|$。把这两种描述连接起来，是物质波推导真正需要完成的工作。

由上式消去速度，取正能量支，得到书稿式 (5.2.13)：

有理化动能表达式在所采用的能量—动量关系内精确成立；低速时分母趋于 $2m_0c^2$。再按小动量展开才有 $E=m_0c^2+P^2/(2m_0)-P^4/(8m_0^3c^2)+O(P^6/(m_0^5c^4))$。这个 Taylor 展开是另一步低速核对，不能取代最终书稿式 (5.2.13) 的精确关系。

02完整结构的动量怎样由场计算

要建立这种对应，必须先明确场的动量从哪里来。空间平移对称性使作用量具有一个守恒的平移生成元，即 Noether 动量。它不是额外添加到粒子上的一份动量，而是从同一场作用量计算完整结构平移时携带的量。

第五章用一个实场 $q$ 展示这一步。此处 $q$ 是场振幅，不是后面讨论散射时的动量转移；$Z$ 是常数动能权重，$B_{ij}$ 是实对称的无量纲传播矩阵，$W(q)$ 为局部势能密度。对于书稿式 (5.2.9) 的常系数作用量密度，

采用使正向传播波具有正动量的符号约定，平移动量密度 $g_i$ 和能流 $S_i$ 为

这里 $\mathbf S$ 是能流，不能与伴随场方程中的驱动源混用。各向同性 $B_{ij}=\delta_{ij}$ 时，才由这一模型得到 $\mathbf S=c^2\mathbf g$。更高空间导数、速度交叉项或多场耦合会改变具体的 Noether 流，因而完整 ASD 构型需要使用自己的作用量计算。

在总能量守恒、局域能量连续方程成立且表面项消失时，能量中心及其运动满足

第二式来自对能量连续方程分部积分。若作用量还满足上述各向同性的能流—动量关系，才可进一步写成 $\mathbf P=E\dot{\mathbf R}_E/c^2$。这说明能量中心与机械动量的联系有明确的动力学条件。实验所对应的动量应包含核心、伴随场及必要近场；把相位动量先分配给裸核心，再把同一场的贡献加一遍，会重复计数。

03模作用量怎样连接能量、动量与相位

单色周期模不仅有频率和波数，也有由振幅及能量归一化确定的模作用量 $\mathcal I$。它具有能量乘时间的量纲，记录这一模在一个角相位单位中对应的作用量。第五章使用的匹配关系为

左侧是模能量、模动量与相位生成元的关系。经典线性模可以改变振幅，从而改变其作用量；Fourier 分解本身没有把每个激发的作用量固定为 $\hbar$。只有将一个完整物质激发与 $\mathcal I=\hbar$ 匹配，才得到 $E=\hbar\omega$ 和 $\mathbf P=\hbar\mathbf k$，再由波长定义得到 $\lambda=h/P$，其中 $h=2\pi\hbar$。

周期与角频率也必须区分。静止载波的周期为 $\tau=2\pi/\omega_0$，匹配 $E_0=\hbar\omega_0=m_0c^2$ 后，一个完整周期对应 $E_0\tau=h$，而每单位角相位对应 $E_0/\omega_0=\hbar$。对于真正的非线性周期构型，要计算其轨道作用量 $\oint p_A\,dq_A$，再检验单激发匹配；式中的 $q_A,p_A$ 是该构型的正则坐标与动量。

最终书稿采用单激发作用量锁定，把着装结构与相位联系为 $E=\hbar\omega$、$\mathbf P=\hbar\mathbf k$，从而得到 $\lambda=h/P$。这已经是当前有效构造中可使用的匹配关系。继续研究的是同一非线性运动核与周围场怎样产生并维持这种锁定、给出一致的归一化，而不是重新证明上述波长代数。相位—动量锁定问题保留这一微观闭合任务。

04相位、包络与核心为什么有不同的速度

相位面的移动速度、波包包络的移动速度和物质核心的速度描述不同对象。相位速度沿波矢方向为 $v_{\rm ph}=\omega/|\mathbf k|$；群速度由色散对波矢求导，描述窄带包络峰的传播。低速有效包络在常矩阵 $B$ 下给出

这里 $\mathbf p=\hbar\mathbf k$ 是包络相位动量。它何时等于完整机械动量 $\mathbf P$，仍取决于上一节的匹配。各向同性自由极限中 $B=I$，于是 $\mathbf p=m_0\mathbf v_g$。若 $B$ 随动量或速度改变，求导必须同时计入 $\partial B/\partial\mathbf p$，不能把这个常系数结果直接扩展到任意速度。

在各向同性完整有隙色散 $\omega^2=\omega_0^2+c^2k^2$ 中，对 $\mathbf k$ 求导，并采用同一单激发的能量—动量匹配，得到

最后一个等号使用同一完整着装激发的 $E=\gamma m_0c^2$ 与 $\mathbf P=\gamma m_0\mathbf v$。因此在已匹配的各向同性自由模型内，核心平移与包络群运动具有明确的速度对应。求出能够独立支持这些匹配的非线性运动族，仍是另一项微观任务。相速度可以超过 $c$，最早信息前沿则由原二阶场方程决定。

书稿的二维共动例把这个问题变得具体。在沿 $x$ 方向以速度 $v$ 平移、传播系数 $b_x,b_y$ 为正常数的模型中，令 $\xi=x-vt$，将共动振幅写为 $\phi=e^{iq_v\xi}\chi$，消去一阶空间导数要求

这里 $q_v$ 是相位波数，$\chi$ 是相位提出后的响应振幅。这一步说明平移与相位怎样在给定方程中相联系。传播型或衰减型响应还由源频率偏移与边界条件决定；核心速度与群速度、相位动量与总机械动量都匹配后，才可把此相位波长解释为实验物质波。任意调整 $b_x$ 去拟合条纹，不能替代这些匹配。

05波包权重怎样传播与交换

相位关系建立后，还需要知道包络在传播中怎样重新分布。对有效波动方程，取实势 $V$、实对称 $B_{ij}$，以 $\Psi^*$ 乘原方程，再减去其共轭式，势能项相消、梯度项组成散度，得到

$\Psi$ 是复包络，$n=|\Psi|^2$ 为包络权重密度，$\mathbf j$ 为其流量，$S_{\rm Sch}$ 是有效源。对区域 $\mathcal V$ 积分，书稿式 (5.2.8) 把局部平衡写成

权重可经边界流出，也可通过核心与场的源项交换。只有无源且边界无净通量时，总包络权重才守恒。如果核心已经通过完整着装态吸收到初态或有效 Hamiltonian 中，传播阶段可以用无源方程；同一核心源不能再次加入。

当实验只比较相对分布时，可以作整体归一化 $\psi=\Psi/(\int|\Psi|^2d^3r)^{1/2}$。这既不产生单激发的能量条件，也不把有源演化自动变成幺正演化；归一化因子随时间变化时，归一化包络的方程还会多出相应项。这里得到的是场权重的平衡，怎样形成离散记录由探测与统计继续处理。

06中性复合物为什么仍有整体物质波

原子或分子的净电荷为零，并不意味着它们的总能量、惯性响应和整体相位也消失。电中性消除的是电荷单极项；内部极化、多极场和核心—场的总能量仍由复合结构决定。因此，不能仅从没有净电荷推断其物质波由某一种开放传播通道单独承担。

在已经采用多组分低速包络的条件下，书稿以二体模型说明质心怎样分离。设两组分质量和位置为 $m_1,m_2$ 及 $\mathbf r_1,\mathbf r_2$，定义

$M$ 为这个低速模型的总质量参数，$\mu$ 为约化质量，$\mathbf R$ 与 $\boldsymbol\rho$ 分别描述整体平移和内部相对运动。链式法则给出 $\nabla_1=(m_1/M)\nabla_R+\nabla_\rho$、$\nabla_2=(m_2/M)\nabla_R-\nabla_\rho$；代入动能后，混合导数相消：

若内势只依赖相对坐标，外场在物体内部尺度上缓变，Hamiltonian 可以分成质心动能、内部 Hamiltonian $H_{\rm int}$、外势 $V_{\rm ext}(\mathbf R)$ 以及由外场不均匀性产生的 $H_{\rm tidal}$。取近似冻结的内部态 $H_{\rm int}\chi_n=E_n\chi_n$，令 $\Psi_{\rm tot}=\psi_{\rm CM}(\mathbf R,t)\chi_n(\boldsymbol\rho)e^{-iE_nt/\hbar}$ 并投影，得到

这里 $P_{\rm CM}$ 是质心机械动量。内部态稳定、外场变化尺度大于物体尺寸，以及动量转移不能分辨内部结构，是该描述的关键条件。若以 $q$ 表示动量转移除以 $\hbar$ 所对应的波数，物体尺度为 $a_c$，后一条件写为 $qa_c\ll1$；它不要求质心波长大于物体尺寸。整体平移波数可以很大，而装置仍不能激发或分辨内部结构。

C₆₀ 干涉是复合物整体波动必须满足的实验要求。上述质心分离在给定多组分包络内成立；它还不是从三维 ASD 局域场独立构造一般多粒子态。若要计入束缚能对惯性质量的贡献，还须将 $M$ 匹配到 $M_{\rm phys}=E_{\rm rest}/c^2$，并一致加入高阶动能及相互作用修正。