纵横耦合：要求与候选结构

01局域横向结构怎样联系纵向背景

ASD 通过同一作用量中的耦合项，把横向剪切能与纵向体积状态相互联系。第五章已经给出双方变分源、能量交换恒等式和局部能量界，接下来的工作是在具体背景与物质构型中求解这一通路。

如果物质核心主要涉及闭合剪切与取向，而质量和引力背景又联系纵向空间状态，就需要一条两者互相驱动的通路。两套互不作用的自由波方程，只能描述各自传播，不能说明同一核心怎样产生纵向响应并接受反馈。

耦合项因此要同时回答源与反作用。它还要与场的能量、对称性、量纲和边界相容。第五章已经给出可直接变分的最低阶三次候选，本页保留这个结构，不把物理要求当作唯一耦合的证明。

02密度与横向旋度的候选联系

取压缩为正的 $\sigma=-\nabla\cdot\mathbf u_L$ 和横向旋度 $\boldsymbol\Omega_T=\nabla\times\mathbf u_T$。两者无量纲，位移仍为长度单位；$\boldsymbol\Omega_T$ 是轴矢量，其平方是旋转标量。书稿 (5.4.19) 使用

$g_{LT}$ 的单位为 $\mathrm{J\,m^{-3}}$，规定给定密度怎样改变横向恢复能，以及横向结构怎样驱动体积响应。该项不含时间导数，因此相互作用能是 $+g_{LT}\sigma|\boldsymbol\Omega_T|^2$，与拉格朗日项的符号相反。

这是所选变量下允许的一种局部候选；旋转标量和正确单位没有唯一确定其系数或微观来源。它也未把局部旋度等同完整拓扑核心，使用范围仍是这些变量和相应截断能够描述的区域。

03双方的源怎样由同一项得到

纵向变分满足 $\delta\sigma=-\nabla\cdot\delta\mathbf u_L$，故耦合变化的纵向部分为 $g_{LT}\int|\boldsymbol\Omega_T|^2\nabla\cdot\delta\mathbf u_L\,dt\,d^3x$。在常数 $g_{LT}$ 和相容边界下，将导数移到旋度平方，得到 $-g_{LT}\nabla|\boldsymbol\Omega_T|^2$。

横向变分使用 $\delta\boldsymbol\Omega_T=\nabla\times\delta\mathbf u_T$，平方的导数给因子二：

对旋度分部积分，并舍去已经指定为零的边界项，得到

它们的单位为广义力密度。纵向源是梯度，天然无旋；横向源是旋度，天然无散，因而与相应通道约束相容。$\mathbf J_A^{\rm nl}$ 不是电荷电流，电磁源要由另一个明确的守恒流与耦合识别。

把这两个源加入各自的通道方程，就是从同一候选得到的驱动与反作用。系数若随背景变化，导数还会作用在系数上；本段的简单表达取 $g_{LT}$ 为常数。

04能量转换为什么不等于耗散

每个通道的能量方程含 $\mathbf J_A^{\rm nl}\cdot\partial_t\mathbf u_A$。沿用相同边界分部积分，纵向功率的空间积分为 $-g_{LT}\int|\boldsymbol\Omega_T|^2\partial_t\sigma\,d^3x$；横向功率为 $-2g_{LT}\int\sigma\boldsymbol\Omega_T\cdot\partial_t\boldsymbol\Omega_T\,d^3x$。相加后正好得到

因此在没有外源和净边界流时，自由通道能量加相互作用能守恒。某一通道能量减少，可以来自转换到另一个通道、暂存于相互作用能或从边界辐射离开；这些情况不是自动的不可逆耗散。要加入耗散，须指出被粗粒化掉的环境或热自由度怎样承接能量。

三次项在 $\sigma=0$、$\mathbf u_T=0$ 的真空上不改变二次谱。非零背景、核心附近或有限振幅且具有合适相位匹配时，才可能发生具体模式转换；转换率和完整背景谱仍要由指定构型计算。

05局部能量界怎样得到

三次项自身不保证大振幅能量有下界。书稿在局部能量截断中加入 $K_s\sigma^2/2$ 与 $\lambda_T|\boldsymbol\Omega_T|^4/4$，其中 $K_s>0$ 和 $\lambda_T$ 均为能量密度系数。将密度项配方：

右侧第一项非负。若 $\lambda_T\ge2g_{LT}^2/K_s$，第二项也非负，因而这个局部截断具有充分的能量下界条件。在等号边界，四次余项为零，还要检查其他稳定项是否控制剩余平坦方向。

此处 $K_s$ 是该局部密度能的系数，要与所用完整作用量匹配；它不能只因名称相近就与任意梯度或普通弹性模量等同。逐点有界性也没有证明有限能量局域解存在，更没有检查全部梯度扰动、分裂、取向约束和边界模。稳定三维结构需要额外的拓扑能量与缩放检查。

06这条通路还需要怎样连接引力与物质

候选耦合已经有互易源、能量交换和局部界，因而可以用于检验给定背景的响应。它仍未确定物质核心、源强与引力远场。局部体积变化必须先与长程尺度变量区分；有序真空反馈也要重算全谱，不能沿用未耦合同速条件。

第五章第六节的 $\mathbf u+\Theta$ 候选另外引入 $g_LsF$ 和 $g_T\mathbf w\cdot\mathbf T$，双方方程同样从一个泛函求得。母方程页按其实际变量展开；这些不同候选没有未经映射就成为同一个相互作用。

OP-SD-001继续检查共同动力学，OP-SD-006要求从同一物质构型得到源、远场和质量关系。这里已得到的局部结果，为这两项任务提供具体输入。