独立于晶格的连续动力学

01连续模型怎样给出可计算的响应

ASD 的连续动力学由空间状态的惯性响应、恢复能、源和边界共同组成。它既能计算自由传播，也能计算受驱和非均匀响应；场的动能系数与局域物质的平移惯性在同一作用量中联系，但承担不同定义。

连续动力学的用途，是在指定背景、初值、源和边界以后，求出空间状态怎样变化，能量怎样流动，以及哪些响应能进入读数。小位移、纵横投影和扩展取向是变量；恢复系数、动能归一化、非线性势和源作用是构成输入；变分方程与守恒关系则由这些输入计算得到。

因此，一个模型不仅是一条形式像波动方程的式子。它还要规定场属于哪个函数空间、哪些分量受约束、在何处连续描述有效，以及边界是否允许能量流出。这样的系统可以在不先确定 FCC 唯一性的情况下求线性传播、静态响应和候选耦合；具体微观模型再负责解释它的参数和截止。

02动能归一化与物质惯性分别计算

第四章的长度量纲状态场 $\mathbf u$ 使用 $\rho_s$，第五章的纵横通道使用 $Z_A$，局部双场使用 $Z_u$。这些正系数指定时间导数项的权重，单位由变量和能量归一化决定。对于位移型场，它们可以具有 $\mathrm{kg\,m^{-3}}$ 的单位；对于无量纲标量，相应动能系数则可以为 $\mathrm{J\,s^2m^{-3}}$。

它们表征空间状态的动态响应，并不是普通粒子质量密度或基元数密度的另一个名称。物质惯性质量需把完整局域解及其随平移的调整代回作用量，从集体坐标的运动能计算。书稿第五章 (5.6.26)–(5.6.27)给出这种定义，而不是仅从场系数的量纲读出电子质量。

同一符号和单位不证明两个模型相同；相同模型也可以换归一化。要跨章使用结果，须一起核对变量、动能内积、源单位和边界。

03第四章与第五章的通道作用量

第四章用散度和旋度写二次恢复能，其能量为

正系数保证这个线性阶的非负能量。第五章对已经投影的通道取

这里 $A=L,T$，$\nabla\times\mathbf u_L=0$、$\nabla\cdot\mathbf u_T=0$，$\mathbf J_A$ 是与位移耦合的广义力密度。常系数、正交投影及相容边界下，取 $Z_A=\rho_s$、$Z_Ac_A^2=K_A$ 可以匹配两个积分作用量：纵向场的梯度平方积分等于散度平方积分，横向场的梯度平方积分等于旋度平方积分。

这些等式包含分部积分。局部能量密度可以相差散度项；在有边界或非均匀系数时，不能逐点强行等同。源、边界功与初始场也须随表示保留。第五章允许分别归一化的通道；若不采用上述匹配，便应按它自身的模型求能量，不混用第四章的系数。

04系数变化时导数也作用在系数上

在缓慢变化的连接背景中，选择一个实分量 $q$，动能系数 $Z>0$ 与对称恢复张量 $K_{ij}=K_{ji}$ 可依赖位置；若背景随时间改变，也可依赖 $t$。与互易连接能相容的作用量密度是

对 $q$ 变分并处理端点和空间边界，得到

展开左侧，时间项含 $(\partial_tZ)\partial_tq$，空间项含 $(\partial_iK_{ij})\partial_jq$。这些不是可随意删去的装饰项，而是同一作用量在非均匀背景中的响应。只有在常系数或有明确误差控制的近似下，才可写成 $Z\partial_t^2q-K_{ij}\partial_i\partial_jq=J$。

第五章常系数讨论记 $K_{ij}/Z=c^2B_{ij}$，$B$ 为无量纲传播系数。真实多分量模型还带内部指标，投影通常不与传播算符对易。非均匀系数的非散度方程也不能无依据地改写成上述散度形式，因为这样会增加一阶梯度项。

05约束、边界和能量交换

受约束的纵横通道要在允许变分的空间中求方程；源若未满足该通道条件，应先作对应投影。无穷远衰减、周期边界、给定位移或有定义的自然边界，都可能使变分表面项消失，但它们对应不同物理制备。若实际允许边界输入或外向辐射，应保留其能量账目。

对第五章自由通道方程乘以 $\partial_t\mathbf u_A$，时间项变成能量导数，梯度项经乘积法则产生能流。所得局部关系为

源功率密度是 $\mathbf J_A\cdot\partial_t\mathbf u_A$。封闭、无源并无净边界流时，总能量守恒；给定外源驱动时，场能变化由源功和边界流决定。若源由另一个动力学场产生，还须把它的能量和相互作用能共同纳入。纵横耦合使用的正是这种互易要求。

密度、矢势和取向变量之间的改写，同样要保留能量核、规范、约束和源，而不只比较自由方程的外观。特别是密度的逆拉普拉斯动能与独立拉伸的局域动能，属于需要明确区分的两种纵向构成。

在所用常系数实通道作用量中，平移动量密度和能流分别为 $g_i=-Z\dot q\,\partial_iq$ 与 $S_i=-Zc^2\dot q\,B^{ij}\partial_jq$，故 $S_i=c^2B^{ij}g_j$（5.2.9–5.2.10）。只有各向同性 $B^{ij}=\delta^{ij}$ 才可在这一模型中写 $\mathbf g=\mathbf S/c^2$。此处 $g_i$ 是动量密度，不能与引力加速度 $\mathbf g=c^2\nabla\varphi$ 混用；包含高阶导数或速度交叉项时还须重求完整 Noether 流。

06连续计算给微观模型提出什么要求

给定系数以后，连续系统可以计算允许传播模、源的响应、静态边值解和能流。微观模型需要给出这些变量的粗粒化映射、全部连接张量、动态响应、有效系数、高阶修正及适用波数范围。FCC 页保留一套具体连接的离散计算，并明示它只确定所选标量或固定偏振通道。

进入母方程时，非线性取向、引力远场和反馈后的传播谱必须在同一自由度计数下协调。连续核心已有的变分和守恒结果仍然有效；是否存在同时满足这些接口的稳定物质解，则是进一步的联合求解任务。