动力学：力与功

01前提与参考参数 · Starting Assumptions

在这些条件下 $dW=\mathbf v\cdot d\mathbf p$。若允许内激发、辐射或背景变化，还须记录其动量通量和能量交换，不能只保留固定 $m_0$ 的平动项。

02对整体动量求导 · Momentum Derivative

从 $\mathbf p=m_0\gamma\mathbf v$ 按乘积法则得到：

对 $\gamma=(1-\mathbf v\cdot\mathbf v/c^2)^{-1/2}$ 作链式求导：

此处求的是尺度因子随运动过程的导数，没有把“时间膨胀”作为乘积法则之外的输入。

03方向性响应 · Directional Response

将 $\dot\gamma$ 代入力式：

令 $\mathbf a=\mathbf a_\parallel+\mathbf a_\perp$，其中 $\mathbf v\cdot\mathbf a_\perp=0$。沿速度方向，系数为

垂直方向只剩 $\gamma$。因而两个响应系数来自同一个动量对速度的导数，而不是两种不同的静止质量。在 $v=0$ 时，方向分解可任取，整体响应连续成为 $m_0\mathbf a$。

将总外力换算为加速度

响应张量沿纵向和横向的本征值分别是 $m_0\gamma^3$ 与 $m_0\gamma$。在 $m_0>0$、$v<c$ 时两者均为正，因此无需低速截断就可以求逆：

这就是最终书稿式（2.20）。式（2.18）从指定加速度求所需外力，逆式则从指定总外力求运动响应；静止极限连续给出 $\mathbf a=\mathbf F/m_0$。下面保留的牛顿极限是式（2.18）的网页检查，不再冒用最终式（2.20）的原书编号。

04纵向、横向与圆周运动 · Special Cases

对同一局部标定下的匀速圆周运动，$a_\perp=v^2/R$，故

这里 $v$ 与 $R$ 都使用同一局部长度和计数基准。$\gamma$ 已进入动量，不能再无条件将 $R$ 替成 $\gamma R$ 而重复计算尺度效应。若要比较另一套长度实现，必须先给出独立的测量映射。这是第二章在式（2.21）之后特别保留的说明。

05功与动能的接口 · Work and Energy

当只改变速度大小时，$dp/dv=m_0\gamma^3$，于是动能从静止态积到 $v$。即使运动方向改变，与速度垂直的动量变化也不贡献这个点积。

完整积分和总能量的归一化见能量与作用量。本页不将功积分的能量差直接当成已经决定了静止能量。

06物理意义与适用范围 · Interpretation and Validity

ASD 将不同方向的力响应归于运动空间结构的方向性重构：纵向加速改变速率及平均增益，横向加速改变运动方向。匀速圆周运动的瞬时力垂直于速度，在本模型中不改变动能；若带电结构实际辐射，辐射项需另外纳入。

公式在固定质量、均匀背景、可微速度且 $v<c$ 的范围内使用。外部引力场、材料应力或多体过程不因自由运动表达式同形而自动获得完整动力学。

07一致性检查与来源 · Checks and Sources

量纲为质量乘加速度；$\beta\to0$ 时恢复牛顿关系；$\mathbf v\cdot\mathbf a=0$ 时 $\dot\gamma=0$；$\mathbf F\cdot\mathbf v$ 与动能公式的过程导数相等。数学同形与解释差别见实验关系。

本页保留式（2.15）—（2.21）及圆周运动的未编号关系；中间求导只展开书稿已采用的代数，不添加洛伦兹变换作为前提。